Exo Maths X MP #16 - Propriétés des matrices de déterminant 1

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A$ un anneau. On note $S{L}_n(A)$ l'ensemble des matrices de taille $n$ de déterminant $1$ à coefficients dans $A$.

1. Montrer que $S{L}_n(\mathbb{Q})$ n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

2. Montrer que $S{L}_n(\mathbb{Q})$ est dense dans $S{L}_n(\mathbb{R})$.

3. Montrer que $S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ engendrent $S{L}_2(\mathbb{Z})$.

Merci à Pietro Cren d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Supposons que $S{L}_n(\mathbb{Q})$ est engendré par un nombre fini d'éléments $M_1,...,M_p$. Soit $(\frac{p_i}{q_i}{)}_{1\le i\le (n^2{)}^r}$ la famille des coefficients rationnels de ces matrices. Soit $\mathcal{U}=\{u_1,...,u_s\}$ l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un des $q_i$.

Si $M$ est engendré par les $M_k$, alors ses coefficients peuvent tous se mettre sous la forme $k/(u_1^{a_1}...u_s^{a_s})$ avec $a_1,...,a_s\in \mathbb{N}$. Soit $u$ un nombre premier supérieur à $\max (\mathcal{U})$. $1/u$ ne peut s'écrire sous la forme $1/(u_1^{a_1}...u_s^{a_s})$ avec $a_1,...,a_s\in \mathbb{N}$.

On en conclut que la matrice $\text{Diag}(\frac{1}{u},u,1,...,1)$ de $S{L}_n(\mathbb{Q})$ ne peut pas être engendrée par $M_1,...,M_p$, ce qui est absurde. Donc $S{L}_n(\mathbb{Q})$ n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

Question 2

Soit $M\in S{L}_n(\mathbb{R})$.

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, donc ${\mathbb{Q}}^{n^2}$ est dense dans ${\mathbb{R}}^{n^2}$, donc ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Q})$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, donc il existe $(M_k{)}_k\in ({\mathcal{M}}_n(\mathbb{Q}){)}^{\mathbb{N}}$ tendant vers $M$.

Par continuité du déterminant, $\det (M_k)\underset{k\to \infty }{\to }\det (M)=1$. Donc à partir d'un certain rang $k_0$, $\det (M_k)>0$. Pour $k\ge k_0$, posons :

$M_k^{\prime }\in S{L}_n(\mathbb{Q})$ et $M_k^{\prime }\underset{k\to \infty }{\to }M$ puisque $M_k\underset{k\to \infty }{\to }M$ et $\det (M_k)\underset{k\to \infty }{\to }\det (M)=1$. Donc toute matrice $M\in S{L}_n(\mathbb{R})$ est limite d'une suite de matrices de $S{L}_n(\mathbb{Q})$. Ainsi $S{L}_n(\mathbb{Q})$ est dense dans $S{L}_n(\mathbb{R})$.

Question 3

Montrons que $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ est engendrée par $S$ et $T$ par récurrence forte sur $|c|$.

Cas $|c|=0$. Par définition, $ad-bc=1$. Donc $ad=1$ i.e. $(a,d)=(1,1)$ ou $(-1,-1)$. Donc $M=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ ou $M=\left(\begin{array}{cc}-1& b\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Or, on peut remarquer que $T^b=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ pour tout $b\in \mathbb{Z}$ (récurrence ascendante et descendante) et que $S^2=-I_2$. Donc $M=T^b$ ou $M=S^2{T}^{-b}$. Dans les deux cas, $M$ est engendrée par $T$ et $S$.

Cas $|c|>0$. En faisant une division eucliedienne, on obtient $a=qc+r$ avec $q\in \mathbb{Z}$ et $0\le r<\left|c\right|$, et :

Par hypothèse de récurrence, $S{T}^{-q}M$ est alors engendrée par $S$ et $T$ donc $M$ est engendrée par $S$ et $T$.