Exo Maths X MP #23 - Convexité, dérivabilité et différentiabilité

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

On note $(e_1,...,e_n)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$. Soit $\phi :{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ telle que :

• $\forall x,v\in {\mathbb{R}}^n,t\mapsto \phi (tv+x)$ convexe,
• $\forall i\in [[1,n]],\forall x\in {\mathbb{R}}^n,t\mapsto \phi (t{e}_i+x)$ dérivable.

1. Montrer que pour tout $x_1,...,x_n\in \mathbb{R}$ et ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n\in {\mathbb{R}}^{+}$ tels que ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$ :

2. Montrer que $\phi$ est différentiable.

Merci à Bao Nguyen d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

On procède par récurrence :

Cas $m=2$. Soit $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ et $\lambda \in [0,1]$. La fonction $\gamma :t\mapsto \varphi (t(x_2-x_1)+x_1)$ est convexe d'après l'énoncé. Donc :

Or :

• $\gamma (\lambda \cdot 0+(1-\lambda )1)=\gamma (1-\lambda )=\varphi (\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)$,
• $\lambda \gamma (0)+(1-\lambda )\gamma (1)=\lambda \varphi (x_1)+(1-\lambda )\varphi (x_2)$.

On a donc bien $\varphi (\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda \varphi (x_1)+(1-\lambda )\varphi (x_2)$.

Hérédité. Soit un entier $m\ge 2$. On suppose que pour tout $x_1,...,x_m\in \mathbb{R}$ et ${\lambda }_1,...,{\lambda }_m\in {\mathbb{R}}^{+}$ tels que ${\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i=1$, on a :

Montrons le résultat pour $m+1$. Soit $x_1,...,x_{m+1}\in \mathbb{R}$ et ${\lambda }_1,...,{\lambda }_{m+1}\in {\mathbb{R}}^{+}$ tels que ${\sum }_{k=1}^{m+1}{\lambda }_k=1$.

On a donc que ${\lambda }_{m+1}=1-{\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k$. Si ${\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k=0$, le résultat est évident. On suppose donc que ${\sum }_{k=1}^m{\lambda }_k>0$ :

Donc $\phi \left({\sum }_{k=1}^{m+1}{\lambda }_k{x}_k\right)\le {\sum }_{k=1}^{m+1}{\lambda }_k\phi (x_k)$.

Question 2

D'après l'énoncé, $\forall i\in [[1,n]],\forall x\in {\mathbb{R}}^n,t\mapsto \phi (t{e}_i+x)$ est dérivable. Autrement dit, $\phi$ admet bien des dérivées partielles $\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x)={\lim }_{t\to 0}\frac{\phi (t{e}_i+x)-\phi (x)}{t}$, et :

Soit $x,h\in {\mathbb{R}}^n$ :

D'où :

De même :

D'où :

D'après la question 1, $\phi (x)\le \frac{1}{2}\phi (x+h)+\frac{1}{2}\phi (x-h)$ donc $\phi (x)-\phi (x-h)\le \phi (x+h)-\phi (x)$ donc :

On peut donc conclure que $\phi$ est différentiable en $x$ et donc différentiable partout.