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Exo Maths X MP #23 - Convexité, dérivabilité et différentiabilité


Published
Revised
November 16, 2020
1 week ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

On note  la base canonique de . Soit  telle que :

  •  convexe,
  •  dérivable.

1. Montrer que pour tout  et  tels que  :



2. Montrer que  est différentiable.

Merci à Bao Nguyen d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

On procède par récurrence :

Cas . Soit  et . La fonction  est convexe d'après l'énoncé. Donc :



Or :

  • ,
  • .

On a donc bien .

Hérédité. Soit un entier . On suppose que pour tout  et  tels que , on a :



Montrons le résultat pour . Soit  et  tels que .

On a donc que . Si , le résultat est évident. On suppose donc que  :



Donc .

Question 2

D'après l'énoncé,  est dérivable. Autrement dit,  admet bien des dérivées partielles , et :



Soit  :



D'où :



De même :



D'où :



D'après la question 1,  donc  donc :



On peut donc conclure que  est différentiable en  et donc différentiable partout.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.