Exo Maths X MP #52 - Que dire de cette suite ?

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $(u_n{)}_n$ une suite réelle bornée telle que $u_n-u_n^2\underset{n\to \infty }{\to }0$. Que dire de $(u_n)$ ?

Merci au polytechnicien qui a souhaité resté anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Sacha Cerf (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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La suite $(u_n)$ est bornée donc admet au moins une valeur d'adhérence. Si $l$ est l'une d'entre elles, elle doit vérifier $l^2-l=0$, c'est à dire $l=0$ ou $l=1$. Ainsi, l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est non vide et inclus dans $\{0,1\}$.

Soit $A=\{n\in \mathbb{N},u_n>0.5\}$.

Si $A$ est fini, $(u_n)$ est inférieure à $0.5$ à partir d'un certain rang, donc aucune sous suite de $(u_n)$ ne peut converger vers $1$. $(u_n)$ n'a donc qu'une seule valeur d'adhérence qui est $l=0$. Montrons que $(u_n)$ converge vers $l$.

Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors $\epsilon >0$ et une extractrice $\phi$ telle que $\forall n\in \mathbb{N},|l-u_{\phi (n)}|>\epsilon$. Or, $(u_{\phi (n)})$ étant aussi bornée, elle admet une valeur d'adhérence $l^{\prime }$ qui, par construction, ne peut pas être égale à $l$. $(u_n)$ aurait donc deux valeurs d'adhérence ce qui est absurde. $(u_n)$ converge vers $l$.

Si $\complement A$ est fini, par un raisonnement analogue à celui du cas précédent, on trouve que $(u_n)$ converge vers $1$.

Si $A$ et $\complement A$ sont infinis, on peut partitionner $(u_n)$ en deux sous suites $(u_n{)}_{n\in A}$ et $(u_n{)}_{n\in \complement A}$. $(u_n{)}_{n\in \complement A}$ vérifie les conditions du premier cas donc converge vers $0$, $(u_n{)}_{n\in A}$ vérifie les conditions du second cas donc converge vers $1$.

Finalement, soit $(u_n)$ converge vers $1$, soit $(u_n)$ converge vers $0$, soit peut être partitionnée en deux sous suites, l'une convergeant vers $0$, l'autre vers $0$. Et ces conditions sont suffisantes.