Exo Maths X MP #10 - Que dire sur ces suites ?

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ bornée avec $u_n+\frac{u_{2n}}{2}\underset{n\to +\infty }{\to }1$. Que dire de $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

2. Soit $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ bornée avec ${\sum }_{p=0}^{+\infty }\frac{v_{n{2}^p}}{2^p}\underset{n\to +\infty }{\to }1$. Que dire de $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Remarque préliminaire. Soit $(u_n{)}_n\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ bornée. Si elle admet une unique valeur d'adhérence, alors elle converge.

Preuve (par contraposée). Soit $l$ une valeur d'adhérence de $(u_n{)}_n$ qui existe par Bolzano-Weierstrass. Supposons $(u_n{)}_n$ non convergente vers $l$, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon >0$ et une extractrice $\phi$ telle que $|u_{\phi (n)}-l|>\epsilon$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $(u_{\phi (n)}{)}_n$ étant bornée, elle admet alors une valeur d'adhérence $l^{\prime }$ vérifiant $|l^{\prime }-l|\ge \epsilon$. $(u_n{)}_n$ a donc au moins deux valeurs d'adhérence.

Question 1

Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée avec $u_n+\frac{u_{2n}}{2}\underset{n\to +\infty }{\to }1$. On montre que $u_n\to \frac{2}{3}$.

$(u_n{)}_n$ étant bornée, par Bolzano-Weierstrass il existe $\phi$ extractrice et $l_0\in \mathbb{R}$ telle que $u_{\phi (n)}\to l_0$. Donc $u_{\phi (n)}+\frac{u_{2\phi (n)}}{2}\to 1$ et $u_{2\phi (n)}\to 2-2l_0$. Donc $2-2l_0=l_1$ est valeur d'adhérence.

Par récurrence, on crée une suite de valeur d'adhérence vérifiant $l_{n+1}=2-2l_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $(l_n{)}_n$ est donc une suite arithmetico-géométrique de terme général : $l_n=(-2{)}^n(l_0-\frac{2}{3})+\frac{2}{3}$.

Si $l_0\ne \frac{2}{3}$, alors $(l_n{)}_n$ diverge, impliquant que $(u_n{)}_n$ a un ensemble de valeur d'adhérence non bornée et donc est non bornée : absurde. Donc la seule valeur d'adhérence de $(u_n{)}_n$ est $\frac{2}{3}$.

$(u_n{)}_n$ étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, $u_n\to \frac{2}{3}$.

Question 2

Soit $(v_n)$ une suite réelle bornée avec ${\sum }_{p=0}^{+\infty }\frac{v_{n{2}^p}}{2^p}\underset{n\to +\infty }{\to }1$. On montre que $v_n\to \frac{1}{2}$.

Soit $\phi$ extractrice telle que $v_{\phi (n)}\to l$. Alors :

Le terme de gauche tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et le terme de droite vers $l+\frac{1}{2}.$ Par unicité de la limite, $1=l+\frac{1}{2}$ donc $l=\frac{1}{2}$. D'où $l=\frac{1}{2}$ est la seule valeur d'adhérence de $(v_n{)}_n$.

$(v_n{)}_n$ étant supposée bornée, par la remarque préliminaire, $v_n\to \frac{1}{2}$.