Dérivée d'un quotient de fonctions et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 19, 2020

3 years ago

La dérivée d'un quotient de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée d'un quotient de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles dérivables en $a$ , alors $f / g$ est dérivable en $a$ et :

(\frac{f}{g})^{'} (a) = \frac{f ^{'} ( a ) g ( a ) - f ( a ) g ^{'} ( a )}{g ( a ) ^{2}}

Démonstration

Pour montrer que $f / g$ est dérivable en $a$ , il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de $f / g$ en $a$ :

\frac{( f / g ) ( x ) - ( f / g ) ( a )}{x - a} = \frac{f ( x ) g ( a ) - f ( a ) g ( x )}{g ( x ) g ( a ) ( x - a )}

Comme $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ , l'idée est de faire apparaître les taux d'accroissement en $a$ de ces deux fonctions. Pour ce faire, il suffit de remplacer $f (x)$ par $f (x) - f (a) + f (a)$ :

\frac{f ( x ) g ( a ) - f ( a ) g ( x )}{g ( x ) g ( a ) ( x - a )} = \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( a ) - f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{g ( x ) g ( a ) ( x - a )}

$f$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( a )}{x - a} = f^{'} (a) g (a)

$g$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{x - a} = f (a) g^{'} (a)

En combinant ces limites :

x \to a lim \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( a ) - f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{g ( x ) g ( a ) ( x - a )} = \frac{f ^{'} ( a ) g ( a ) - f ( a ) g ^{'} ( a )}{g ( a ) ^{2}}

Nous pouvons donc conclure :

x \to a lim \frac{( f / g ) ( x ) - ( f / g ) ( a )}{x - a} = \frac{f ^{'} ( a ) g ( a ) - f ( a ) g ^{'} ( a )}{g ( a ) ^{2}}

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