Le théorème des gendarmes (ou théorème de la limite par encadrement) permet de déduire la limite d'une suite lorsque celle-ci est encadrée par deux suites convergeant vers une même limite.
Théorème des gendarmes. Soit , , trois suites réelles. Si et convergent vers une même limite , et si à partir d'un certain rang, , alors converge vers .
Soit , , trois suites réelles telles que et convergent vers une même limite, et à partir d'un certain rang , .
Soit . D'après la définition de la convergence d'une suite :
Donc, pour tout :
Or, à partir de . Donc, pour tout :
Nous pouvons donc conclure que :
Autrement dit, converge vers .
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