Théorème des gendarmes et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 5, 2020

1 month ago

Le théorème des gendarmes (ou théorème de la limite par encadrement) permet de déduire la limite d'une suite lorsque celle-ci est encadrée par deux suites convergeant vers une même limite.

Théorème des gendarmes. Soit $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites réelles. Si $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une même limite $l$ , et si à partir d'un certain rang, $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ , alors $(u_{n})$ converge vers $l$ .

Démonstration

Soit $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites réelles telles que $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une même limite, et à partir d'un certain rang $N_{1}$ , $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ .

Soit $ε > 0$ . D'après la définition de la convergence d'une suite :

{\exists N_{2} \in N, \forall n \geq N_{2}, ∣ v_{n} - l ∣ \leq ε \exists N_{3} \in N, \forall n \geq N_{3}, ∣ w_{n} - l ∣ \leq ε

Donc, pour tout $n \geq max (N_{2}, N_{3})$ :

\Rightarrow {∣ v_{n} - l ∣ \leq ε ∣ w_{n} - l ∣ \leq ε {l - ε \leq v_{n} \leq l + ε l - ε \leq w_{n} \leq l + ε

Or, $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir de $N_{1}$ . Donc, pour tout $n \geq max (N_{1}, N_{2}, N_{3})$ :

\Rightarrow l - ε \leq v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} \leq l + ε ∣ u_{n} - l ∣ \leq ε

Nous pouvons donc conclure que :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ \leq ε

Autrement dit, $(u_{n})$ converge vers $l$ .

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