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Théorème des gendarmes et démonstration


Published
Revised
June 5, 2020
1 month ago

Le théorème des gendarmes (ou théorème de la limite par encadrement) permet de déduire la limite d'une suite lorsque celle-ci est encadrée par deux suites convergeant vers une même limite.

Théorème des gendarmes. Soit , ,  trois suites réelles. Si  et convergent vers une même limite , et si à partir d'un certain rang, , alors  converge vers .

Démonstration

Soit , ,  trois suites réelles telles que  et  convergent vers une même limite, et à partir d'un certain rang , .

Soit . D'après la définition de la convergence d'une suite :



Donc, pour tout  :



Or,  à partir de . Donc, pour tout  :



Nous pouvons donc conclure que :



Autrement dit,  converge vers .


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