Théorème des gendarmes et démonstration

Démos Maths MPSI

Published

Revised

June 5, 2020

10 months ago

Le théorème des gendarmes (ou théorème de la limite par encadrement) permet de déduire la limite d'une suite lorsque celle-ci est encadrée par deux suites convergeant vers une même limite.

Théorème des gendarmes. Soit $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites réelles. Si $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une même limite $l$ , et si à partir d'un certain rang, $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ , alors $(u_{n})$ converge vers $l$ .

Démonstration

Soit $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ trois suites réelles telles que $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers une même limite, et à partir d'un certain rang $N_{1}$ , $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ .

Soit $ε > 0$ . D'après la définition de la convergence d'une suite :

{\exists N_{2} \in N, \forall n \geq N_{2}, ∣ v_{n} - l ∣ \leq ε \exists N_{3} \in N, \forall n \geq N_{3}, ∣ w_{n} - l ∣ \leq ε

Donc, pour tout $n \geq max (N_{2}, N_{3})$ :

\Rightarrow {∣ v_{n} - l ∣ \leq ε ∣ w_{n} - l ∣ \leq ε {l - ε \leq v_{n} \leq l + ε l - ε \leq w_{n} \leq l + ε

Or, $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir de $N_{1}$ . Donc, pour tout $n \geq max (N_{1}, N_{2}, N_{3})$ :

\Rightarrow l - ε \leq v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} \leq l + ε ∣ u_{n} - l ∣ \leq ε

Nous pouvons donc conclure que :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ \leq ε

Autrement dit, $(u_{n})$ converge vers $l$ .

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