Exo Maths X MP #56 - Produit de convolution

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ non nulles au plus sur un intervalle de longueur finie. Soit ${\mathcal{A}}_c$ l'intersection de $\mathcal{A}$ et des fonctions continues, et ${\mathcal{A}}_{cpm}$ l'intersection de $\mathcal{A}$ et des fonctions continues par morceaux.

Pour tout $f\in {\mathcal{A}}_c$ et $g\in {\mathcal{A}}_{cpm}$, on définit :

1. Montrer que $f\ast g\in {\mathcal{A}}_c$.

2. Pour tout $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ et $x,t\in \mathbb{R}$, on note $f_x(t)=f(t-x)$. Soit $T\in L({\mathcal{A}}_c)$ telle que (a) $\forall f\in {\mathcal{A}}_c,\Vert T(f){\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_{\infty }$ et (b) $\forall x\in \mathbb{R},T(f_x)=T(f{)}_x$. Montrer que $T(f\ast g)=T(f)\ast g$.

Merci à Alexandre François d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Farid Bgd (MP*, Thiers) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Soit $f\in {\mathcal{A}}_c$ et $g\in {\mathcal{A}}_{cpm}$. Il existe $a\in {\mathbb{R}}^{+}$ tel que $f$ et $g$ soient nulles sur $\mathbb{R}\backslash [-a,a]$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $t\mapsto f(t)g(x-t)\in {\mathcal{A}}_{cpm}$ donc est intégrable sur $\mathbb{R}$. $f\ast g$ est donc bien définie sur $\mathbb{R}$ et :

Si $f(t)g(x-t)\ne 0$, alors $f(t)\ne 0$ et $g(x-t)\ne 0$, donc $t\in [-a,a]$ et $x-t\in [-a,a]$, donc $t\in [-a,a]\cap [x-a,x+a]$. Si $x>2a$ ou $x<-2a$, alors $[-a,a]\cap [x-a,x+a]=\varnothing$. Donc :

Donc :

Donc $f\ast g\in \mathcal{A}$.

En appliquant le changement de variable $u=x-t$ :

On peut appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètres :

• $t\mapsto f(x-t)g(t)$ est continue par morceau sur $\mathbb{R}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
• $x\mapsto f(x-t)g(t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.
• $\left|f(x-t)g(t)\right|\le \Vert f{\Vert }_{\infty }\left|g(t)\right|$ pour tout $t,x\in \mathbb{R}$ et $g$ est intégrable.

Donc $f\ast g$ est continue.

Question 2

Soit $f\in {\mathcal{A}}_c$, $g\in {\mathcal{A}}_{cpm}$ et $x\in \mathbb{R}$. D'après la preuve de la question 1 :

Notons $h:t\mapsto T(f)(x-t)g(t)$. $T(f)\in {\mathcal{A}}_c$ et $g\in {\mathcal{A}}_{cpm}$, donc $h\in {\mathcal{A}}_{cpm}$. Il existe alors $a_0\in \mathbb{R}$ tel que $h$ soit nulle sur $\mathbb{R}\backslash [-a_0,a_0]$. Soit $a\ge a_0$. En notant $a_{k,n}=-a+\frac{2ak}{n}$ :

Puisque $T(f{)}_x=T(f_x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

Montrons que $(\frac{2a}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}g(a_{k,n})f_{a_{k,n}}{)}_n$ converge uniformément vers $f\ast g$ sur $[-a,a]$.

Soit $\epsilon >0$ et $t\in \mathbb{R}$ :

On remarque que :

Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et qu'il existe $b\in {\mathbb{R}}^{+}$ tel que $f$ soit nulle sur $\mathbb{R}\backslash [-b,b]$, $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ et il existe $n_1$ tel que pour tout $n\ge n_1$ :

Comme $g$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ et qu'il existe $b\in {\mathbb{R}}^{+}$ tel que $f$ soit nulle sur $\mathbb{R}\backslash [-b,b]$, en notant $I_1,...,I_p$ les intervalles où $f$ est continue, il existe $n_2$ tel que pour tout $n\ge n_2$ :

Donc pour tout $n\ge n_2$ :

• Si $[a_{k,n},a_{k+1,n}]$ ne contient pas de point de discontinuité de $g$, alors :

• Si $[a_{k,n},a_{k+1,n}]$ contient un point de discontinuité de $g$, alors :

$g$ ayant au plus $p$ points de discontinuité :

Le majorant tend vers $2a\epsilon (\Vert g{\Vert }_{\infty }+1)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Donc il existe $n_3$ tel que pour tout $n\ge n_3$ :

On en conclut que $(\frac{2a}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}g(a_{k,n})f_{a_{k,n}}{)}_n$ converge uniformément vers $f\ast g$ sur $[-a,a]$.

Pour $a$ assez grand pour que $f\ast g$ soit nulle sur $\mathbb{R}\backslash [-a,a]$ et que $\forall x\in \mathbb{R}\backslash [-a,a],\forall t\in \mathbb{R},g(x)f_x(t)=0$, on a que $(\frac{2a}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}g(a_{k,n})f_{a_{k,n}}{)}_n$ converge aussi uniformément vers $f\ast g$ sur $\mathbb{R}\backslash [-a,a]$, donc converge uniformément vers $f\ast g$ sur $\mathbb{R}$.

Puisque $\forall f\in {\mathcal{A}}_c,\Vert T(f){\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_{\infty }$ :

Comme $(\frac{2a}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}g(a_{k,n})f_{a_{k,n}}{)}_n$ converge uniformément vers $f\ast g$ sur $\mathbb{R}$ :

Puisque $(T(f)\ast g)(x)={\lim }_{n\to +\infty }T\left(\frac{2a}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}g(a_{k,n})f_{a_{k,n}}\right)(x)$ :

Le résultat étant vrai pour tout $x\in \mathbb{R}$ :