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Exo Maths X MP #56 - Produit de convolution


Published
Revised
February 23, 2021
5 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  l'ensemble des fonctions de  dans  non nulles au plus sur un intervalle de longueur finie. Soit  l'intersection de  et des fonctions continues, et  l'intersection de  et des fonctions continues par morceaux.

Pour tout  et , on définit :



1. Montrer que .

2. Pour tout  et , on note . Soit  telle que (a)  et (b) . Montrer que .

Merci à Alexandre François d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Farid Bgd (MP*, Thiers) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  et . Il existe  tel que  et  soient nulles sur .

Pour tout ,  donc est intégrable sur .  est donc bien définie sur  et :



Si , alors  et , donc  et , donc . Si  ou , alors . Donc :



Donc :



Donc .

En appliquant le changement de variable  :



On peut appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètres :

  •  est continue par morceau sur  pour tout .
  •  est continue sur  pour tout .
  •  pour tout  et  est intégrable.

Donc  est continue.

Question 2

Soit ,  et . D'après la preuve de la question 1 :



Notons .  et , donc . Il existe alors  tel que  soit nulle sur . Soit . En notant  :



Puisque  pour tout  :



Montrons que  converge uniformément vers  sur .

Soit  et  :



On remarque que :



Comme  est continue sur  et qu'il existe  tel que  soit nulle sur ,  est uniformément continue sur  et il existe  tel que pour tout  :



Comme  est continue par morceaux sur  et qu'il existe  tel que  soit nulle sur , en notant  les intervalles où  est continue, il existe  tel que pour tout  :



Donc pour tout  :

  • Si  ne contient pas de point de discontinuité de , alors :

  • Si  contient un point de discontinuité de , alors :


 ayant au plus  points de discontinuité :



Le majorant tend vers  quand  tend vers . Donc il existe  tel que pour tout  :



On en conclut que  converge uniformément vers  sur .

Pour  assez grand pour que  soit nulle sur  et que , on a que  converge aussi uniformément vers  sur , donc converge uniformément vers  sur .

Puisque  :



Comme  converge uniformément vers  sur  :



Puisque  :



Le résultat étant vrai pour tout  :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.