Exo Maths X MP #19 - Une fonction et sa transformée

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f\in {\mathcal{C}}^3(\mathcal{I},\mathbb{R})$. Pour tout $x$ tel que $f^{\prime }(x)\ne 0$, on pose :

1. On suppose que $f$ est un polynôme scindé de degré $n\ge 2$. Montrer que $S$ est strictement négative.

2. On suppose que $S<0$ négative et que $f^{\prime }$ ne s'annule pas sur $[a,b]$. Montrer que $\forall x\in ]a,b[,\left|f^{\prime }(x)\right|>\min (\left|f^{\prime }(a)\right|,\left|f^{\prime }(b)\right|)$.

Merci à Merlin Fruchon d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Notons $P=\gamma {\prod }_{l=1}^k(X-{\lambda }_l{)}^{n_l}$ où les ${\lambda }_l$ sont des réels distincts ordonnés et les $n_l$ des entiers strictements positifs.

$P^{\prime }$ est scindé sur $\mathbb{R}$ car :

• Pour $l\in [[1,k]]$, ${\lambda }_l$ est racine d'ordre $n_l-1$ de $P^{\prime }$. Ce polynôme admet donc au moins${\sum }_{l=1}^k(n_l-1)=n-k$ racines réelles comptées avec multiplicité, toutes dans $\left\{\begin{array}{c}{\lambda }_1,....{\lambda }_k\end{array}\right\}$.
• Par le théorème de Rolle, on peut également trouver $k-1$ racines de $P^{\prime }$ qui ne sont pas dans cet ensemble (chacune comprise dans $\left]{\lambda }_l,{\lambda }_{l+1}\right[$).
• $P^{\prime }$ admet donc $n-1$ racines réelles, il est donc scindé.

On peut donc écire : $P^{\prime }=\gamma {\prod }_{l=1}^{n-1}(X-{\mu }_l)$ où les ${\mu }_i$ sont des réels. Ainsi :

Soit $x\in \mathbb{R}$ tel que $P^{\prime }(x)\ne 0$. Alors :

car les termes dans les sommes sont strictement positifs.

Question 2

On suppose par l'absurde qu'il existe $x_0\in \left]a,b\right[$ tel que $\left|f^{\prime }(x_0)\right|\le \min (\left|f^{\prime }(a)\right|,\left|f^{\prime }(b)\right|)$. Alors, par continuité, $\left|f^{\prime }\right|$ atteint son minimum en un point $x_e\in \left]a,b\right[$.

Par hypothèse, $f^{\prime }$ ne s'annule pas en $x_e$ et est continue, donc $f^{\prime }$ garde un signe constant strict au voisinage de $x_e$, donc $f^{\prime }$ admet un extremum local en $x_e$, donc $f^{\prime \prime }(x_e)=0$. Ainsi :

Par la formule de Taylor-Young en $x_e$ :

Si $f^{\prime }<0$ au voisinage de $x_e$, alors $f^{\prime }$ admet un maximum local en $x_e$, donc $f^{\prime \prime \prime }(x_e)\le 0$, et donc $f^{\prime \prime \prime }(x_e)f^{\prime }(x_e)\ge 0$.

Sinon si $f^{\prime }>0$ au voisinage de $x_e$, alors $f^{\prime }$ admet un minimum local en $x_e$, donc $f^{\prime \prime \prime }(x_e)\ge 0$, et donc de même $f^{\prime \prime \prime }(x_e)f^{\prime }(x_e)\ge 0$.

On en déduit donc que $S(x_e)\ge 0$, ce qui est absurde par hypothèse. Donc pour tout $x\in [a,b]$, $\left|f^{\prime }(x)\right|>\min (\left|f^{\prime }(a)\right|,\left|f^{\prime }(b)\right|)$.