Question 2

 $festu.csur\mathbb{R}$ $⟹\ni a,b\in \mathbb{R}telsque|f(x)|\le a\left|x\right|+b\forall x\in \mathbb{R}$.

Preuve :

• Par uniforme continuité $\ni \alpha >0,\forall$ x,y $\in \mathbb{R}$ , $\left|x-y\right|\le \alpha ⟹$$\left|f(x)-f(y)\right|\le$1 (*)
• Soit x$\ge$0. Posons k=$\lfloor \frac{x}{\alpha }+1\rfloor$. On a bien $0\le \frac{x}{k}\le \alpha$ . Ainsi

 $\left|f(x)-f(0)\right|\le |{\sum }_{i=1}^{k}f(ix/k)-f((i-1)x/k)|$

 $\le {\sum }_{i=1}^k|f(ix/k)-f((i-1)x/k)|$ (inégalité triangulaire)

 $\le k\le x/\alpha +1$ d'après (*)

 Ainsi$,|f(x)|\le 1+|f(0)|+\frac{x}{\alpha },\forall x\in {\mathbb{R}}_{+}$ .

• Pour les x négatifs on considère $g:x⟼f(-x)$ qui est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ . Le même raisonnement appliqué à g nous donne$|f(x)|\le |f(0)|+1+\frac{|x|}{\alpha },\forall x\in {\mathbb{R}}_{-}$. D'où le résultat.