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Identité de Bézout, théorème de Bézout, démonstrations


Published
Revised
August 14, 2020
1 month ago

L'identité de Bézout et le théorème de Bézout sont des résultats arithmétiques qui lient le  aux solutions des équations diophantiennes .

Identité de Bézout. Si  et , alors :



 désigne le PGCD de  et . Cette identité est aussi appelée "théorème de Bachet-Bézout".

Théorème de Bézout. Si , alors :



 désigne le PGCD de  et .

Démonstration de l'identité de Bézout

Soit . Notons  le PGCD de  et .

Si , alors  donc  vérifie .

Plaçons-nous maintenant dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas où  et  ne sont pas tous deux nuls.

Considérons , l'ensemble des combinaisons linéaires strictement positives de  et .

 est une partie non vide de  puisqu'il contient l'entier strictement positif  (prendre ).  a donc un plus petit élément . Montrons que .

Premièrement,  divisant  et ,  divise .

Deuxièmement, montrons que  divise toute combinaison linéaire , donc a fortiori divise  et , donc divise le PGCD .

Soit . D'après l'algorithme d'Euclide étendu,  :



 est une combinaison linéaire de  et , qui est positive et strictement plus petite que . Par construction de ,  nécessairement, donc  divise  pour tout . En prenant  puis , nous en déduisons que  divise  et  donc  divise .

Conclusion :  puisque :

  •  divise ,
  •  divise ,
  •  et  sont positifs.

Démonstration du théorème de Bézout

Démonstration du sens direct

Le sens direct découle immédiatement de l'identité de Bézout appliquée au cas où le PGCD de  et  est .

Démonstration du sens réciproque

Supposons que . Nous voulons montrer que le PGCD de  et  est . Pour ce faire, nous allons montrer que tout diviseur de  et  divise  et donc que le PGCD est .

Soit  un diviseur de  et .  est aussi un diviseur de . Or, par hypothèse, , donc  divise , donc  est soit  soit . Ainsi, le plus grand diviseur commun à  et  est .


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