Identité de Bézout, théorème de Bézout, démonstrations

L'identité de Bézout et le théorème de Bézout sont des résultats arithmétiques qui lient le $PGCD(a,b)$ aux solutions des équations diophantiennes $au+bv=c$.

Identité de Bézout. Si $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ et $d\in \mathbb{N}$, alors :

où $a\wedge b$ désigne le PGCD de $a$ et $b$. Cette identité est aussi appelée "théorème de Bachet-Bézout".

Théorème de Bézout. Si $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$, alors :

où $a\wedge b$ désigne le PGCD de $a$ et $b$.

Démonstration de l'identité de Bézout

Soit $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$. Notons $d\in \mathbb{N}$ le PGCD de $a$ et $b$.

Si $d=0$, alors $a=b=0$ donc $(u,v)=(0,0)$ vérifie $au+bv=d$.

Plaçons-nous maintenant dans le cas où $d>0$, c'est-à-dire dans le cas où $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls.

Considérons $\mathcal{A}=\{au+bv|(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2\}\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'ensemble des combinaisons linéaires strictement positives de $a$ et $b$.

$\mathcal{A}$ est une partie non vide de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ puisqu'il contient l'entier strictement positif $a^2+b^2$ (prendre $(u,v)=(a,b)$). $\mathcal{A}$ a donc un plus petit élément $d_0=a{u}_0+b{v}_0$. Montrons que $d_0=d$.

Premièrement, $d$ divisant $a$ et $b$, $d$ divise $d_0=a{u}_0+b{v}_0$.

Deuxièmement, montrons que $d_0$ divise toute combinaison linéaire $au+bv$, donc a fortiori divise $a$ et $b$, donc divise le PGCD $d$.

Soit $(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2$. D'après l'algorithme d'Euclide étendu, $\exists q\in \mathbb{Z},\exists r\in [[0,d_0[[$ :

$r$ est une combinaison linéaire de $a$ et $b$, qui est positive et strictement plus petite que $d_0$. Par construction de $d_0$, $r=0$ nécessairement, donc $d_0$ divise $au+bv$ pour tout $(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2$. En prenant $(u,v)=(1,0)$ puis $(u,v)=(0,1)$, nous en déduisons que $d_0$ divise $a$ et $b$ donc $d_0$ divise $d=a\wedge b$.

Conclusion : $d_0=d$ puisque :

• $d$ divise $d_0$,
• $d_0$ divise $d$,
• $d$ et $d_0$ sont positifs.

Démonstration du théorème de Bézout

Démonstration du sens direct

Le sens direct découle immédiatement de l'identité de Bézout appliquée au cas où le PGCD de $a$ et $b$ est $1$.

Démonstration du sens réciproque

Supposons que $\exists (u,v)\in {\mathbb{Z}}^2,au+bv=1$. Nous voulons montrer que le PGCD de $a$ et $b$ est $1$. Pour ce faire, nous allons montrer que tout diviseur de $a$ et $b$ divise $1$ et donc que le PGCD est $1$.

Soit $d$ un diviseur de $a$ et $b$. $d$ est aussi un diviseur de $au+bv$. Or, par hypothèse, $au+bv=1$, donc $d$ divise $1$, donc $d$ est soit $1$ soit $-1$. Ainsi, le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$.