Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Théorème d'Al-Kashi et démonstration


Published
Revised
June 4, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Lucas Willems. Pour ajouter une démonstration à la source, contactez Lucas Willems <lcswillems@gmail.com>.

Le théorème de Pythagore nous dit que pour tout triangle rectangle :



 est la longueur de l'hypothénuse (le côté opposé à l'angle droit), et  et  sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit.

Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore à n'importe quel triangle (pas seulement rectangle).

Théorème d'Al-Kashi. Pour tout triangle :



, ,  sont les longueurs des trois côtés, et  est l'angle opposé au côté .

Remarquez que si ,  est l'hypothénuse, , et nous retrouvons bien le théorème de Pythagore.

Démonstration

Reprenons la figure précédente et nommons les sommets pour faciliter la démonstration :

Rappelons que pour trois vecteurs ,  et  du plan :

  • le produit scalaire est défini par  est la norme de ,  celle de , et  l'angle ,
  • le produit scalaire est symétrique : ,
  • le produit scalaire est distributif : 
  • .

Ainsi, d'après le schéma :



Comme  (relation de chasles), après distribution :



D'après le nommage des sommets, ,  et , nous pouvons conclure :



Démos Maths MPSI

Découvre ou révise les démonstrations de maths au programme de MPSI.