Théorème d'Al-Kashi et démonstration

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Revised

June 4, 2020

3 years ago

Le théorème de Pythagore nous dit que pour tout triangle rectangle :

a^{2} + b^{2} = c^{2}

où $c$ est la longueur de l'hypothénuse (le côté opposé à l'angle droit), et $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit.

Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore à n'importe quel triangle (pas seulement rectangle).

Théorème d'Al-Kashi. Pour tout triangle :

a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (γ) = c^{2}

où $a$ , $b$ , $c$ sont les longueurs des trois côtés, et $γ$ est l'angle opposé au côté $c$ .

Remarquez que si $γ = 90 °$ , $c$ est l'hypothénuse, $cos (γ) = 0$ , et nous retrouvons bien le théorème de Pythagore.

Démonstration

Reprenons la figure précédente et nommons les sommets pour faciliter la démonstration :

Rappelons que pour trois vecteurs $u$ , $v$ et $w$ du plan :

le produit scalaire est défini par $u \cdot v = u v cos (γ)$ où $u$ est la norme de $u$ , $v$ celle de $v$ , et $γ$ l'angle $(u, v)$ ,
le produit scalaire est symétrique : $u \cdot v = v \cdot u$ ,
le produit scalaire est distributif : $(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w$
$u \cdot u = u u cos (0) = u^{2}$ .

Ainsi, d'après le schéma :

c^{2} = A B^{2} = A B \cdot A B

Comme $A B = A C + C B$ (relation de chasles), après distribution :

c^{2} = A C \cdot A C + C B \cdot C B + 2 A C \cdot C B = A C \cdot A C + C B \cdot C B - 2 C A \cdot C B

D'après le nommage des sommets, $A C = b$ , $C B = a$ et $γ = (C A, C B)$ , nous pouvons conclure :

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (γ)

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