Théorème d'Al-Kashi et démonstration

Le théorème de Pythagore nous dit que pour tout triangle rectangle :

où $c$ est la longueur de l'hypothénuse (le côté opposé à l'angle droit), et $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit.

Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore à n'importe quel triangle (pas seulement rectangle).

Théorème d'Al-Kashi. Pour tout triangle :

où $a$, $b$, $c$ sont les longueurs des trois côtés, et $\gamma$ est l'angle opposé au côté $c$.

Remarquez que si $\gamma =90°$, $c$ est l'hypothénuse, $\cos (\gamma )=0$, et nous retrouvons bien le théorème de Pythagore.

Démonstration

Reprenons la figure précédente et nommons les sommets pour faciliter la démonstration :

Rappelons que pour trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan :

• le produit scalaire est défini par $\vec{u}\cdot \vec{v}=uv\cos (\gamma )$ où $u$ est la norme de $\vec{u}$, $v$ celle de $\vec{v}$, et $\gamma$ l'angle $(\vec{u},\vec{v})$,
• le produit scalaire est symétrique : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$,
• le produit scalaire est distributif : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot \vec{w}+\vec{v}\cdot \vec{w}$
• $\vec{u}\cdot \vec{u}=uu\cos (0)=u^2$.

Ainsi, d'après le schéma :

Comme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ (relation de chasles), après distribution :

D'après le nommage des sommets, $AC=b$, $CB=a$ et $\gamma =(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$, nous pouvons conclure :