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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Déterminer les fonctions vérifiant : .
Merci à Amine Eagle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi) et Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Montrons par récurrence sur que .
Initialisation : . Soit . et . Comme , et donc .
Hérédité. Supposons qu'il existe tel que .
Soit . et .
Comme , d'après l'hypothèse de récurrence, . En appliquant une deuxième fois l'hypothèse de récurrence, . Ainsi :
Donc .
D'après le résultat précédent, en prenant , . Le résultat est aussi vrai pour puisque . Formulé autrement :
D'après l'étape 2, on en déduit donc que :
Et donc que :
Puisque est strictement croissante sur et que , on en déduit que . Ainsi, en combinant ce résultat avec celui de l'étape 2, nécessairement, .
Réciproquement, cette fonction est solution du problème. Elle est donc l'unique solution.
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.