Exo Maths X MP #58 - Inéquation fonctionnelle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Déterminer les fonctions $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ vérifiant : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n+1)>f(f(n))$.

Merci à Amine Eagle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi) et Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Étape 1 : $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n>k,f(n)>k$

Montrons par récurrence sur $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ que $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall n>k,f(n)>k$.

Initialisation : $k=1$. Soit $n>1$. $n-1\in N^{\ast }$ et $f(n)>f(f(n-1))$. Comme $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $f(f(n-1))\ge 1$ et donc $f(n)>1$.

Hérédité. Supposons qu'il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\forall n>k,f(n)>k$.

Soit $n>k+1$. $n-1\in N^{\ast }$ et $f(n)>f(f(n-1))$.

Comme $n-1>k$, d'après l'hypothèse de récurrence, $f(n-1)>k$. En appliquant une deuxième fois l'hypothèse de récurrence, $f(f(n-1))>k$. Ainsi :

Donc $f(n)>k+1$.

Étape 2 : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n)\ge n$

D'après le résultat précédent, en prenant $n=k+1$, $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(k+1)>k$. Le résultat est aussi vrai pour $k=0$ puisque $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$. Formulé autrement :

Étape 3 : $f$ est strictement croissante

D'après l'étape 2, on en déduit donc que :

Et donc que :

Étape 4 : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n)=n$

Puisque $f$ est strictement croissante sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ et que $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n+1)>f(f(n))$, on en déduit que $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n+1>f(n)$. Ainsi, en combinant ce résultat avec celui de l'étape 2, nécessairement, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n)=n$.

Réciproquement, cette fonction est solution du problème. Elle est donc l'unique solution.