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Exo Maths X MP #58 - Inéquation fonctionnelle


Published
Revised
March 9, 2021
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Déterminer les fonctions  vérifiant : .

Merci à Amine Eagle d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Mouad Saliji (MP*, Al-Zahrawi) et Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Étape 1 : 

Montrons par récurrence sur  que .

Initialisation : . Soit .  et . Comme  ,  et donc .

Hérédité. Supposons qu'il existe  tel que .

Soit .  et .

Comme , d'après l'hypothèse de récurrence, . En appliquant une deuxième fois l'hypothèse de récurrence, . Ainsi :



Donc .

Étape 2 : 

D'après le résultat précédent, en prenant , . Le résultat est aussi vrai pour  puisque . Formulé autrement :



Étape 3 :  est strictement croissante

D'après l'étape 2, on en déduit donc que :



Et donc que :



Étape 4 : 

Puisque  est strictement croissante sur  et que , on en déduit que . Ainsi, en combinant ce résultat avec celui de l'étape 2, nécessairement, .

Réciproquement, cette fonction est solution du problème. Elle est donc l'unique solution.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.