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Exo Maths X MP #7 - Racine d'une matrice


Published
Revised
October 6, 2020
16 hours ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit . On appelle racine de  toute matrice  telle que .

1. À quelle(s) condition(s)  diagonisable admet-elle une racine ?

2. Existe-t-il une racine de  si elle admet une valeur propre réelle mais n'est pas diagonalisable ?

3. Existe-t-il une racine de  si elle n'admet aucune valeur propre réelle ?

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préliminaire. Si  et  est son polynôme caractéristique (de degré 2), alors :

  • soit  a deux racines réelles distinctes, et  est diagonalisable dans ,
  • soit  a une racine réelle double, et  est trigonalisable dans ,
  • soit  a deux racines complexes non réelles et conjuguées, et est diagonalisable dans .

Question 1

Commençons par supposer que  est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe  et  tels que . On va montrer que  admet une racine dans  ssi  ou .

Analyse. Soit  tel que .  est trigonalisable dans . On note  ses valeurs propres complexes et on a  et .

Si  est réel, alors d'après la remarque préléminaire,  est aussi réel, et on en déduit que  et .

Sinon, d'après la remarque préléminaire,  et  sont des complexes conjugés. On peut écrire  et  avec . Comme ,  et . Donc 

Synthèse. Si ,  est une racine de .

Si ,  est une racine de .

Question 2

Les nilpotentes non nulles ont leurs valeurs propres réelles () mais n'ont pas de racines carrées : par l'absurde, si  est nilpotente non nulle,  et , donc  et , donc  serait nilpotente d'ordre  dans  ce qui est absurde.

On propose une caractérisation : si  non diagonalisable admet une valeur propre réelle, alors  admet une racine ssi  a deux valeurs propres égales strictement positives.

Soit  non diagonalisable ayant une valeur propre réelle. D'après la remarque préliminaire,  a donc une valeur propre réelle double et est trigonalisable dans , ie.  avec ,  et .

Dire que  admet une racine équivaut à dire que  admet une racine, ce qui équivaut à dire qu'il existe  tels que :



Si , alors , ce qui n'est pas possible, donc . L'équation est donc :



L'équation a donc une solution ssi  > 0, et dans le cas où , ,  et .

Question 3

On va montrer que toute matrice sans valeurs propres réelles admet une racine.

Soit  sans valeurs propres réelles. D'après la remarque préliminaire,  est semblable à .

Soit  une racine carrée complexe de . Posons .

Comme ,  est diagonalisable et semblable à . Donc  est semblable à . Donc  et , matrices réelles, sont semblables dans . Montrons qu'elles sont semblables dans .

Il existe  tel que . Il existe  tels que . En identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque coefficient, on obtient  et .

Considérons . C'est une fonction polynomiale non nulle en , donc non nulle sur , donc il existe  tel que .

En faisant , on en déduit que  donc .  et  sont bien semblables dans .

Posons .  est une matrice réelle et .



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.