Exo Maths X MP #7 - Racine d'une matrice

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On appelle racine de $M$ toute matrice $A$ telle que $A^2=M$.

1. À quelle(s) condition(s) $M$ diagonisable admet-elle une racine ?

2. Existe-t-il une racine de $M$ si elle admet une valeur propre réelle mais n'est pas diagonalisable ?

3. Existe-t-il une racine de $M$ si elle n'admet aucune valeur propre réelle ?

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préliminaire. Si $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et ${\chi }_M$ est son polynôme caractéristique (de degré 2), alors :

• soit ${\chi }_M$ a deux racines réelles distinctes, et $M$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$,
• soit ${\chi }_M$ a une racine réelle double, et $M$ est trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$,
• soit ${\chi }_M$ a deux racines complexes non réelles et conjuguées, et est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$.

Question 1

Commençons par supposer que $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe $P\in G{L}_2(\mathbb{R})$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ tels que $M=P\cdot Diag(\lambda ,\mu )\cdot P^{-1}$. On va montrer que $M$ admet une racine dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ssi $\lambda ,\mu \ge 0$ ou $\lambda =\mu$.

Analyse. Soit $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ tel que $A^2=M$. $A$ est trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. On note $\alpha ,\beta$ ses valeurs propres complexes et on a $\lambda ={\alpha }^2$ et $\mu ={\beta }^2$.

Si $\alpha$ est réel, alors d'après la remarque préléminaire, $\beta$ est aussi réel, et on en déduit que $\lambda ={\alpha }^2\ge 0$ et $\mu ={\beta }^2\ge 0$.

Sinon, d'après la remarque préléminaire, $\alpha$ et $\beta$ sont des complexes conjugés. On peut écrire $\alpha =a+ib$ et $\beta =a-ib$ avec $a,b\in \mathbb{R}$. Comme $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$, $\lambda =Re(\lambda )=a^2-b^2$ et $\mu =Re(\mu )=a^2-b^2$. Donc $\lambda =\mu .$

Synthèse. Si $\lambda ,\mu \ge 0$, $A=P\cdot Diag(\sqrt{\lambda },\sqrt{\mu })\cdot P^{-1}$ est une racine de $M$.

Si $\lambda =\mu <0$, $A=P\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{|\lambda |}\\ -\sqrt{|\lambda }& 0\end{array}\right)P^{-1}$ est une racine de $M$.

Question 2

Les nilpotentes non nulles ont leurs valeurs propres réelles ($0$) mais n'ont pas de racines carrées : par l'absurde, si $M$ est nilpotente non nulle, $M\ne 0$ et $M^2=0$, donc $A^2=M\ne 0$ et $A^4=0$, donc $A$ serait nilpotente d'ordre $>2$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ce qui est absurde.

On propose une caractérisation : si $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ non diagonalisable admet une valeur propre réelle, alors $M$ admet une racine ssi $M$ a deux valeurs propres égales strictement positives.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ non diagonalisable ayant une valeur propre réelle. D'après la remarque préliminaire, $M$ a donc une valeur propre réelle double et est trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, ie. $M=P\left(\begin{array}{cc}\lambda & \alpha \\ 0& \lambda \end{array}\right)P^{-1}$ avec $P\in G{L}_2(\mathbb{R})$, $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

Dire que $M$ admet une racine équivaut à dire que $\left(\begin{array}{cc}\lambda & \alpha \\ 0& \lambda \end{array}\right)$ admet une racine, ce qui équivaut à dire qu'il existe $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ tels que :

Si $a+d=0$, alors $\alpha =0$, ce qui n'est pas possible, donc $c=0$. L'équation est donc :

L'équation a donc une solution ssi $\lambda$ > 0, et dans le cas où $\lambda >0$, $a=b=\sqrt{\lambda }$, $c=0$ et $d=\frac{\alpha }{2\sqrt{\lambda }}$.

Question 3

On va montrer que toute matrice sans valeurs propres réelles admet une racine.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ sans valeurs propres réelles. D'après la remarque préliminaire, $M$ est semblable à $Diag(\lambda ,\bar{\lambda })$.

Soit $\mu$ une racine carrée complexe de $\lambda$. Posons $A=\left(\begin{array}{cc}0& -|\mu {|}^2\\ 1& 2Re(\mu )\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Comme ${\chi }_A=X^2-2Re(\mu )+|\mu {|}^2=(X-\mu )(X-\bar{\mu })$, $A$ est diagonalisable et semblable à $Diag(\mu ,\bar{\mu })$. Donc $A^2$ est semblable à $Diag({\mu }^2,{\bar{\mu }}^2)=Diag(\lambda ,\bar{\lambda })$. Donc $A^2$ et $M$, matrices réelles, sont semblables dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. Montrons qu'elles sont semblables dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Il existe $P\in G{L}_2(\mathbb{C})$ tel que $P{A}^2=MP$. Il existe $P_1,P_2\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ tels que $P=P_1+i{P}_2$. En identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque coefficient, on obtient $(1):Q_1{A}^2=M{Q}_1$ et $(2):Q_2{A}^2=M{Q}_2$.

Considérons $f:t\in \mathbb{C}\mapsto \det (P_1+t{P}_2)$. C'est une fonction polynomiale non nulle en $i$, donc non nulle sur $\mathbb{R}$, donc il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $Q=P_1+t{P}_2\in G{L}_2(\mathbb{R})$.

En faisant $(1)+t(2)$, on en déduit que $Q{A}^2=MQ$ donc $Q{A}^2{Q}^{-1}=M$. $A^2$ et $M$ sont bien semblables dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Posons $A^{\prime }=QA{Q}^{-1}$. $A^{\prime }$ est une matrice réelle et $A^{\prime 2}=M$.