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[Preuve] Théorème de la limite monotone (d'une suite)


Published
Revised
July 18, 2020
3 months ago

Énoncé

  • Toute suite réelle croissante majorée converge vers sa borne supérieure.
  • Toute suite réelle croissante minorée converge vers sa borne inférieure.

Définitions utilisées

Définition de la convergence d'une suite : 



Définition de la borne supérieure : Soit  l'ensemble des majorants de 




Définition de la borne inférieure : Soit  l'ensemble des minorants de 




Lemme utilisé

Démonstration (Cas d'une suite croissante)

Raisonnement par équivalence

Soit  une suite réelle, et on note .

D'après la définition de la borne supérieure :



De plus,  est croissante :



Or , donc , réécrivons donc :



Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que  est convergente.

Conclusion

Par équivalence, lorsque  est croissante et majorée, elle converge.

De plus, d'après l'unicité de la limite,  converge vers .

Démonstration (Cas d'une suite décroissante)

Raisonnement par équivalence

Soit  une suite réelle, et on note .

D'après la définition de la borne inférieure :



De plus,  est décroissante :



Or , donc , réécrivons donc :



Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que  est convergente.

Conclusion

Par équivalence, lorsque  est décroissante et minorée, elle converge.

De plus, d'après l'unicité de la limite,  converge vers .


Preuves Mathématiques

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com