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Définition de la convergence d'une suite :
Définition de la borne supérieure : Soit l'ensemble des majorants de
Définition de la borne inférieure : Soit l'ensemble des minorants de
Soit une suite réelle, et on note .
D'après la définition de la borne supérieure :
De plus, est croissante :
Or , donc , réécrivons donc :
Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que est convergente.
Par équivalence, lorsque est croissante et majorée, elle converge.
De plus, d'après l'unicité de la limite, converge vers .
Soit une suite réelle, et on note .
D'après la définition de la borne inférieure :
De plus, est décroissante :
Or , donc , réécrivons donc :
Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que est convergente.
Par équivalence, lorsque est décroissante et minorée, elle converge.
De plus, d'après l'unicité de la limite, converge vers .
Sofiane Maths
Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com