[Preuve] Théorème de la limite monotone (d'une suite)

Published

Revised

July 18, 2020

3 years ago

Énoncé

Toute suite réelle croissante majorée converge vers sa borne supérieure.
Toute suite réelle croissante minorée converge vers sa borne inférieure.

Définition de la convergence d'une suite : $lim u_{n} = l$

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ < ε

Définition de la borne supérieure : Soit $Ω$ l'ensemble des majorants de $u_{n}$

M = sup ((u_{n})) = min (Ω)

\forall ε > 0, \exists n \in N, M - ε < u_{n} < M

Définition de la borne inférieure : Soit $ω$ l'ensemble des minorants de $u_{n}$

m = in f ((u_{n})) = max (ω)

\forall ε > 0, \exists n \in N, m < u_{n} < m + ε

Soit $u_{n}$ une suite réelle, et on note $sup ((u_{n})) = M$ .

D'après la définition de la borne supérieure :

\forall ε > 0, \exists n \in N, M - ε < u_{n} < M

De plus, $u_{n}$ est croissante :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, M - ε < u_{n} < M

Or $ε > 0$ , donc $M < M + ε$ , réécrivons donc :

⟺ \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, M - ε < u_{n} < M + ε \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - M ∣ < ε

Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que $u_{n}$ est convergente.

Par équivalence, lorsque $u_{n}$ est croissante et majorée, elle converge.

De plus, d'après l'unicité de la limite, $u_{n}$ converge vers $sup ((u_{n}))$ .

Soit $u_{n}$ une suite réelle, et on note $in f ((u_{n})) = m$ .

D'après la définition de la borne inférieure :

\forall ε > 0, \exists n \in N, m < u_{n} < m + ε

De plus, $u_{n}$ est décroissante :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, m < u_{n} < m + ε

Or $ε > 0$ , donc $m - ε < m$ , réécrivons donc :

⟺ \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, m - ε < u_{n} < m + ε \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - m ∣ < ε

Nous nous retrouvons donc face à la définition de la convergence d'une suite, ce qui implique donc que $u_{n}$ est convergente.

Par équivalence, lorsque $u_{n}$ est décroissante et minorée, elle converge.

De plus, d'après l'unicité de la limite, $u_{n}$ converge vers $in f ((u_{n}))$ .

Sofiane Maths

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com