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Exo Maths X MP #8 - Propriétés des matrices stochastiques


Published
Revised
October 16, 2020
5 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018.

On dit qu'une matrice carrée réelle  est stochastique si ses coefficients sont positifs et si la somme des coefficients de chaque colonne vaut .

1. Montrer que  est valeur propre de , puis que son spectre est inclus dans le disque de centre  et de rayon .

2. On suppose que  et que  est valeur propre simple. Montrer que  converge vers une matrice stochastique.

Correction

Bravo à Fabien Pourre (MP, Pierre-de-Fermat) et à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préliminaire. Dire que la somme des coefficients de chaque colonne d'une matrice  vaut  équivaut à dire que .

Question 1

D'après la remarque préliminaire, . Donc  est valeur propre de , et ainsi valeur propre de .

Soit  une valeur propre de , donc de . Soit  un vecteur propre non nul associé à . Pour tout , . Donc :



On choisit  tel que  soit maximal, et donc non nul car . En passant au module et en utilisant l'inégalité triangulaire :



Comme , . Soit  tel que  soit minimal. Alors, en sachant que  :



Donc  appartient au disque de centre  et de rayon  et ce pour toute valeur propre complexe  de .

Question 2

Supposons que pour tout ,  et que  est valeur propre simple de .

Étape 1 : Si  converge, alors la limite est une matrice stochastique.

Le produit de deux matrices  et  stochastiques est stochastique car  est à coefficients positifs et . Par récurrence,  est stochastique pour tout .

L'ensemble des matrices stochastiques  est fermé car il est l'intersection :

  • de l'ensemble des matrices à coefficients positifs, fermé,
  • de  avec , fermé aussi, car préimage du fermé  par une application continue (linéaire en dimension finie).

Ainsi,  est une suite qui vit dans , fermé. Donc si  converge, alors sa limite est une matrice stochastique.

Étape 2 :  converge.

Si  est une valeur propre de , alors  ou , car en notant  et en utilisant la question 1 :

  • . Par l'inégalité triangulaire, on en déduit que  et donc que .
  • Si , alors  équivaut à  équivaut à  puisque  par hypothèse. Donc .

On en déduit que  converge soit vers  ou .

D'après le lemme des noyaux appliqué au polynôme minimal de  :



Comme  est valeur propre simple de , on peut supposer sans perdre en généralité que ,  et  pour .

Pour tout ,  est stable sur  car il commute avec . On peut donc considérer sa resctriction à , notée .

Dans le cas , , donc  converge.

Dans le cas ,  n'a que  comme valeur propre. Elle est donc semblable à  avec  une matrice triangulaire supérieure stricte donc nilpotente (notons  son ordre). Ainsi :



Comme  et , . Donc  converge vers la matrice nulle. Donc  converge.

Donc  converge.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.