Dérivée d'un produit de fonctions et démonstration

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June 5, 2020

Il y a 4 années

La dérivée d'un produit de fonctions fait partie des formules qu'un élève de prépa MPSI/MP se doit de connaître par coeur.

Dérivée d'un produit de fonctions. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles dérivables en $a$ , alors $f g$ est dérivable en $a$ et :

(f g)^{'} (a) = f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a)

Démonstration

Pour montrer que $f g$ est dérivable en $a$ , il nous faut étudier la limite du taux d'accroissement de $f g$ en $a$ :

\frac{( f g ) ( x ) - ( f g ) ( a )}{x - a} = \frac{f ( x ) g ( x ) - f ( a ) g ( a )}{x - a}

Comme $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ , l'idée est de faire apparaître les taux d'accroissement en $a$ de ces deux fonctions. Pour ce faire, il suffit de remplacer $f (x)$ par $f (x) - f (a) + f (a)$ :

\frac{f ( x ) g ( x ) - f ( a ) g ( a )}{x - a} = \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( x ) + f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{x - a}

$f$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( x )}{x - a} = f^{'} (a) g (a)

$g$ étant dérivable en $a$ :

x \to a lim \frac{f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{x - a} = f (a) g^{'} (a)

En sommant ces limites :

x \to a lim \frac{( f ( x ) - f ( a ) ) g ( x ) + f ( a ) ( g ( x ) - g ( a ) )}{x - a} = f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a)

Nous pouvons donc conclure :

x \to a lim \frac{( f g ) ( x ) - ( f g ) ( a )}{x - a} = f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a)

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