Exo Maths X MP #39 - Imparité de la somme des puissances des racines

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

December 29, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $P = X^{3} - 3 X^{2} - X + 1$ .

1. Montrer que $P$ a 3 racines réelles $a > b > c$ et que $a > 3, 2$ .

2. Soit $(u_{n})$ la suite définie par :

\forall n \in N, u_{n} = a^{n} + b^{n} + c^{n}

Montrer que $(u_{n})$ est une suite à valeurs dans les entiers impairs.

3. Montrer que $\forall n \in N^{*}, ⌊ a^{n} ⌋ \equiv n [2]$ .

Merci à Gabriel Chan d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

On a :

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ P (- 1) = - 2 P (0) = 1 P (3, 2) = - 0, 152 P (4) = 13

Par le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ admet une racine dans chacun des intervalles $] - 1, 0 [,] 0, 3.2 [,] 3.2, 4 [$ , et ce sont les seules puisque $P$ est de degré $3$ . De plus la plus grande racine $a$ de $P$ vérifie $a > 3.2$ .

Question 2

Pour $n \geq 3$ , on remarque que:

a^{n} + b^{n} + c^{n} = (a^{n - 1} + b^{n - 1} + c^{n - 1}) (a + b + c) - (a^{n - 2} + b^{n - 2} + c^{n - 2}) (a b + a c + b c) + (a^{n - 3} + b^{n - 3} + c^{n - 3}) a b c

Les relations coefficients-racines nous donnent :

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ a + b + c = 3 a b + a c + b c = - 1 a b c = - 1

Ainsi, pour $n \geq 3$ :

u_{n} = 3 u_{n - 1} + u_{n - 2} - u_{n - 3}

Montrons alors par récurrence triple que $u_{n}$ est un entier impair pour $n \geq 0$ .

Initialisation : On a $u_{0} = 3$ , puis $u_{1} = a + b + c = 3$ d'après les relations coefficients-racines, et enfin, d'après ces mêmes relations :

u_{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2 (a b + a c + b c) = (- 3)^{2} - 2 (- 1) = 11

Donc $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ sont des entiers impairs.

Hérédité : Supposons $u_{n - 3}, u_{n - 2}, u_{n - 1}$ entiers impairs. Alors $u_{n} = 3 u_{n - 1} + u_{n - 2} - u_{n - 3}$ est entier et de plus:

u_{n} \equiv u_{n - 1} + u_{n - 2} + u_{n - 3} \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 1 [2]

Donc $u_{n}$ est impair.

Question 3

Remarquons que :

b^{2} + c^{2} = u_{2} - a^{2} = 11 - a^{2} < 11 - 3 . 2^{2} = 0.76

En particulier, $∣ b ∣, ∣ c ∣ < 1$ .

De plus, $b + c = 3 - a < 3 - 3.2 < 0$ . Comme $c < 0$ et $b > 0$ , $∣ c ∣ > ∣ b ∣ .$

Si $n$ est pair non nul, $0 < b^{n} < b^{2}$ et $0 < c^{n} < c^{2}$ car $∣ b ∣, ∣ c ∣ < 1$ . D'où :

u_{n} = a^{n} + b^{n} + c^{n} \leq a^{n} + b^{2} + c^{2}

\leq a^{n} + 0.76 < a^{n} + 1

Donc $u_{n} - 1 < a^{n} < u_{n}$ , et donc $⌊ a^{n} ⌋ = u_{n} - 1 \equiv 0 \equiv n [2]$ .

Si $n$ est impair, $b^{n} + c^{n} < 0$ car $∣ b ∣ < ∣ c ∣$ . D'où :

u_{n} = a^{n} + b^{n} + c^{n} < a^{n}

De plus, on a comme précédemment:

a^{n} + b^{n} + c^{n} \geq a^{n} - ∣ b ∣^{n} - ∣ c ∣^{n} \geq a^{n} - b^{2} - c^{2} \geq a^{n} - 0.76 > a^{n} - 1

Donc $u_{n} < a^{n} < u_{n} + 1$ , et donc $⌊ a^{n} ⌋ = u_{n} \equiv 1 \equiv n [2]$ .

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