Question 1

Pourquoi une limite uniforme sur $\mathbb{R}$ d'une suite polynômiale est nécessairement un polynôme?

Réponse:

Soit $\left(Pn\right)$ suite de fonctions polynomiales sur $\mathbb{R}$ , convergeant uniformément vers une fonction f . A partir d'un rang N, ||$Pn$−f||∞ ≤1. Donc, $\forall$ $n\ge$ $N$: ||$Pn$−$PN$||∞≤2. Or, $Pn-PN$ est un polynôme. Comme il est majoré, il est constant, autrement dit, il existe $Cn\in \mathbb{R}$ tel que $Pn=P+Cn$, où $P$ désigne le polynôme $PN$.

Je vous laisse finir..