Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #30 - Rang et matrices par bloc


Published
Revised
December 10, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit . Soit .

1. Montrer que  et .

2. On considère . On suppose que . Que dire de  et  ?

3. Soit  un sous-espace vectoriel de . Soit . Montrer que  et discuter du cas d'égalité.

Merci à Clément Rieutord d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

La matrice  est une matrice extraite de  et de rang . Par la caractérisation du rang selon les matrices extraites, .

Supposons .

Soit . On a :



Or  donc  est inversible et .

Soient ,  et .  désigne la matrice extraite de , de lignes  et colonnes . On a :



Si , , ce qui est absurde. Donc . Donc  i.e. .

Supposons . et .

Question 2

On a  et .

Comme , par la question 1, , donc  et , et ce pour tout .

Pour , on obtient . Donc pour tout , .

Soit .  est une fonctione polynomiale nulle en tout point, donc . Or, . Donc . Donc .

Ainsi, .

Question 3

Soit  tel que . Par propriété de l'équivalence matricielle, il existe  telles que .

Soit , sous-espace vectoriel de  de dimension .

Soit . Il existe  et  tels que . On considère :



Pour tout , , donc . Par la question 1, cette matrice est aussi de rang , donc de rang  et .

Pour tout ,  est une fonction polynomiale nulle en tout point, donc de coefficients nuls... Avec le même raisonnement qu'à la question 2, on a ,  et donc .

Ainsi,  et  sont supplémentaires. Donc . Or, , donc .

Le cas d'égalité est atteint, par exemple, pour .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.