Exo Maths X MP #30 - Rang et matrices par bloc

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A\in G{L}_p(\mathbb{R})$. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$.

1. Montrer que $\text{rg}(M)\ge p$ et $\text{rg}(M)=p\iff D=C{A}^{-1}B$.

2. On considère $\forall t\in \mathbb{R},M(t)=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& O\\ C& D\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{cc}O& B\\ B^T& D\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $\forall t\in \mathbb{R},\text{rg}(M(t))\le p$. Que dire de $B$ et $D$ ?

3. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Soit $r={\max }_{M\in V}\text{rg}(M)$. Montrer que $\text{dim}(V)\le nr$ et discuter du cas d'égalité.

Merci à Clément Rieutord d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

La matrice $A$ est une matrice extraite de $M$ et de rang $p$. Par la caractérisation du rang selon les matrices extraites, $\text{rg}(M)\ge \text{rg}(A)=p$.

Supposons $\text{rg}(M)=p$.

Soit $N=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& -A^{-1}B\\ 0_{n-p,p}& I_{n-p}\end{array}\right)$. On a :

Or $\text{det}(N)=1$ donc $N$ est inversible et $\text{rg}(M)=\text{rg}(MN)$.

Soient $i_0,j_0\in [[p+1,n]]$, $I=[[1,p]]\cup \{i_0\}$ et $J=[[1,p]]\cup \{j_0\}$. $[MN{]}_{I,J}$ désigne la matrice extraite de $MN$, de lignes $I$ et colonnes $J$. On a :

Si $n_{i_0,j_0}\ne 0$, $\text{rg}(M)\ge \text{rg}([MN{]}_{I,J})=p+1$, ce qui est absurde. Donc $n_{i_0,j_0}=0$. Donc $D-C{A}^{-1}B=0$ i.e. $D=C{A}^{-1}B$.

Supposons $D=C{A}^{-1}B$. $MN=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& 0\end{array}\right)$et $\text{rg}(M)=\text{rg}(MN)=p$.

Question 2

On a $M(t)=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& tB\\ C+t{B}^T& (t+1)D\end{array}\right)$ et $\text{rg}(M(t))\le p$.

Comme $I_p\in G{L}_p(\mathbb{R})$, par la question 1, $\text{rg}(M(t))\ge p$, donc $\text{rg}(M(t))=p$ et $(t+1)D=(C+t{B}^T)tB$, et ce pour tout $t\in \mathbb{R}$.

Pour $t=0$, on obtient $D=0$. Donc pour tout $t\in \mathbb{R}$, $tCB+t^2{B}^{T}B=0$.

Soit $i\in [[1,n-p]]$. $t\mapsto t[BC{]}_{i,i}+t^2[B^{T}B{]}_{i,i}$ est une fonctione polynomiale nulle en tout point, donc $[B^{T}B{]}_{i,i}=0$. Or, $[B^{T}B{]}_{i,i}={\sum }_{j=1}^{n-p}([B{]}_{j,i}{)}^2$. Donc $\forall i,j\in [[1,n-p]],[B{]}_{j,i}=0$. Donc $B=0$.

Ainsi, $\forall t\in \mathbb{R},M(t)=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ C& 0\end{array}\right)$.

Question 3

Soit $M\in V$ tel que $\text{rg}(M)=r$. Par propriété de l'équivalence matricielle, il existe $P,Q\in G{L}_n(\mathbb{R})$ telles que $M=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)Q$.

Soit $U=\left\{P\left(\begin{array}{cc}0& B\\ B^T& D\end{array}\right)Q\mid B\in {\mathcal{M}}_{r,n-r}(\mathbb{R}),D\in {\mathcal{M}}_{n-r}(\mathbb{R})\right\}$, sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de dimension $n^2-nr$.

Soit $N\in U\cap V$. Il existe $B\in {\mathcal{M}}_{r,n-r}(\mathbb{R})$ et $D\in {\mathcal{M}}_{n-r}(\mathbb{R})$ tels que $N=P\left(\begin{array}{cc}0& B\\ B^T& D\end{array}\right)Q$. On considère :

Pour tout $t\in \mathbb{R}$, $A(t)\in V$, donc $\text{rg}\left(\begin{array}{cc}{I}_r& tB\\ t{B}^T& tD\end{array}\right)=\text{rg}(A(t))\le r$. Par la question 1, cette matrice est aussi de rang $\ge r$, donc de rang $r$ et $tD=t^2{B}^{T}B$.

Pour tout $i,j\in [[1,n-r]]$, $t\mapsto t[D{]}_{i,j}-t^2[B^{T}B{]}_{i,j}$ est une fonction polynomiale nulle en tout point, donc de coefficients nuls... Avec le même raisonnement qu'à la question 2, on a $D=0$, $B=0$ et donc $N=0$.

Ainsi, $U$ et $V$ sont supplémentaires. Donc $\text{dim}(U)+\text{dim}(V)\le n^2$. Or, $\text{dim}(U)=n^2-nr$, donc $\text{dim}(V)\le nr$.

Le cas d'égalité est atteint, par exemple, pour $V=\left\{\left(\begin{array}{cc}A& O_{n,r}\end{array}\right)|A\in {\mathcal{M}}_{n,r}(\mathbb{R})\right\}$.