[Preuve] Théorème des gendarmes (pour les suites)

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Revised

July 19, 2020

3 years ago

Énoncé

Soit $u_{n}$ , $v_{n}$ , $w_{n}$ trois suites réelles tel que $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ et $lim u_{n} = lim w_{n}$

Définition de la convergence d'une suite : $lim u_{n} = l$

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ u_{n} - l ∣ < ε

Posons $ε > 0$ , selon la définition de la limite d'une suite on a :

{\exists N_{1} \in N, \forall n \geq N_{1}, ∣ u_{n} - l ∣ < ε \exists N_{2} \in N, \forall n \geq N_{2}, ∣ w_{n} - l ∣ < ε

Donc $\forall n \geq max (N_{1}, N_{2})$ on a :

{l - ε < u_{n} < l + ε l - ε < w_{n} < l + ε

Sachant que $u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}$ on a :

l - ε < u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n} < l + ε

Ce qui correspond à la définition de la limite de $v_{n}$ :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ v_{n} - l ∣ < ε

Par analyse-synthèse, $lim v_{n} = lim u_{n} = lim w_{n} = l$ .

Sofiane Maths

Des preuves claires ! (Merci de rester critique). Contact si erreur : sofiane.djerbi38@gmail.com