Exo Maths X MP #36 - Dérivées partielles

Publié

Révisé

December 24, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $U$ un ouvert non vide de $R^{n}$ . Soit $l : U^{2} \to R$ de classe $C^{2}$ . On définit, pour tout $γ : [0, 1] \to U$ de classe $C^{1}$ , $A (γ) = \int_{0}^{1} l (γ (t), γ^{'} (t)) d t$ . Si $δ : [0, 1] \to R^{n}$ de classe $C^{1}$ tel que $δ (0) = δ (1) = 0$ , on admet que $\frac{d}{d ε} ∣_{ε = 0} (A (γ + ε δ)) = 0$ .

Montrer que $\frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) = \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t))$ .

Merci à Clément Rieutord d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Idriss Malek (MP*, Ibn Ghazi) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Étape 1 : Expression de $\frac{d}{d ε} ∣ ∣ ∣ ∣_{ε = 0} A (γ + ε δ)$ .

Commençons par montrer que :

\frac{d}{d ε} ∣ ∣ ∣ ∣_{ε = 0} A (γ + ε δ) = \int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t

Soit $η > 0$ tel que $\forall (ε, t) \in [- η, η] \times [0, 1], γ (t) + ε δ (t) \in U$ . On a :

\forall ε \in [- η, η], A (γ + ε δ) = \int_{0}^{1} l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t)) d t

Notons $f (ε, t) = l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t))$ .

a. $\forall ε \in [- η, η], t \mapsto f (ε, t)$ est intégrable sur $[0, 1]$ .

b. $\forall t \in [0, 1], ε \mapsto f (ε, t)$ est dérivable sur $[- η, η]$ car $l$ est $C^{2}$ et :

\frac{d}{d ε} f (ε, t) = i = 1 \sum n δ_{i} (t) \frac{\partial}{\partial u _{i}} l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t)) + j = 1 \sum n δ_{j}^{'} (t) \frac{\partial}{\partial v _{j}} l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t))

où $δ (t) = (δ_{1} (t), . . ., δ_{n} (t))$ , $\frac{\partial}{\partial u _{i}} l$ désigne la dérivée partielle de $l$ par rapport à la $i$ -ème coordonnée de son premier paramètre et $\frac{\partial}{\partial v _{j}} l$ la dérivée partielle de $l$ par rapport à la $j$ -ème coordonnée de son deuxième paramètre.

En notant $\frac{\partial}{\partial u} = (\frac{\partial}{\partial u _{1}}, . . ., \frac{\partial}{\partial u _{n}})$ et $\frac{\partial}{\partial v} = (\frac{\partial}{\partial v _{1}}, . . ., \frac{\partial}{\partial v _{n}})$ :

\frac{d}{d ε} f (ε, t) = ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t)) ⟩ + ⟨ δ^{'} (t), \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t) + ε δ (t), γ^{'} (t) + ε δ^{'} (t)) ⟩

De plus, $\forall ε \in [- η, η], t \mapsto \frac{d}{d ε} f (ε, t)$ est continue sur $[0, 1]$ car $l$ est de classe $C^{2}$ et $γ$ et $δ$ sont de classe $C^{1}$ .

c. $\frac{d}{d ε} f$ est continue sur $[- η, η] \times [0, 1]$ , donc $\frac{d}{d ε} f$ est bornée sur $[- η, η] \times [0, 1]$ .

d. $\forall t \in [0, 1], ε \mapsto \frac{d}{d ε} f (ε, t)$ est continue sur $[- η, η]$ .

D'après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres :

\forall ε \in [- η, η], \frac{d}{d ε} A (γ + ε δ) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d ε} f (ε, t) d t

Donc :

\frac{d}{d ε} ∣ ∣ ∣ ∣_{ε = 0} A (γ + ε δ) = \int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t + \int_{0}^{1} ⟨ δ^{'} (t), \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t

En réalisant une intégration par partie :

\int_{0}^{1} ⟨ δ^{'} (t), \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t = [⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t

D'après l'énoncé, $δ (0) = δ (1) = 0$ , donc $[⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩]_{0}^{1} = 0$ , donc :

\frac{d}{d ε} ∣ ∣ ∣ ∣_{ε = 0} A (γ + ε δ) = \int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t

Étape 2 : $\frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) = 0$ .

D'après l'énoncé, $\frac{d}{d ε} ∣ ∣ ∣ ∣_{ε = 0} A (γ + ε δ) = 0$ . Donc, pour tout $δ : [0, 1] \to R^{n}$ de classe $C^{1}$ tel que $δ (0) = δ (1) = 0$ :

\int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t = 0

Supposons qu'il existe $t_{0} \in [0, 1]$ et $i \in [[1, n]]$ tels que la $i$ -ème coordonnée du vecteur $\frac{\partial}{\partial u} l (γ (t_{0}), γ^{'} (t_{0})) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t_{0}), γ^{'} (t_{0}))$ soit non nulle. Par continuité de $t \mapsto \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t))$ , on peut supposer que $t_{0} \in] 0, 1 [$ et qu'il existe $α > 0$ tel que pour tout $t \in [t_{0} - α, t_{0} + α]$ , la $i$ -ème coordonnée de $l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t))$ soit non nulle et de signe constant.

Prenons alors $δ (t) = (δ_{1} (t), . . ., δ_{n} (t))$ où $δ_{j} = 0$ pour tout $j \neq = i$ et :

δ_{i} (t) = {exp (\frac{1}{( t - t _{0} ) ^{2} - α ^{2}}) 0 si ∣ t - t_{0} ∣ < α sinon

$δ$ est de classe $C^{\infty}$ et $δ (0) = δ (1) = 0$ . De plus, on a nécessairement :

\int_{0}^{1} ⟨ δ (t), \frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) ⟩ d t \neq = 0

ce qui est absurde. Par conséquent, pour tout $t \in [0, 1]$ :

\frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t)) = 0

et donc :

\frac{\partial}{\partial u} l (γ (t), γ^{'} (t)) = \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v} l (γ (t), γ^{'} (t))

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