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Définition. Une partie d'un groupe est un sous-groupe de si :
En pratique, pour prouver que est un sous-groupe de , on utilise plutôt la caractérisation suivante :
Caractérisation. Une partie d'un groupe est un sous-groupe de si et seulement si :
Commençons par montrer qu'un sous-groupe de vérifie la caractérisation :
Montrons maintenant qu'une partie d'un groupe vérifiant la caractérisation est un sous-groupe de :
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