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Caractérisation des sous-groupes et démonstration


Published
Revised
September 8, 2020
1 month ago

Définition. Une partie  d'un groupe  est un sous-groupe de  si :

  1.  contient l'élément neutre  de ,
  2. ,
  3. .

En pratique, pour prouver que  est un sous-groupe de , on utilise plutôt la caractérisation suivante :

Caractérisation. Une partie  d'un groupe  est un sous-groupe de  si et seulement si :

  1.  est non vide,
  2. .

Démonstration

Commençons par montrer qu'un sous-groupe  de  vérifie la caractérisation :

  1. D'après déf.1,  contient l'élément neutre de  donc est non-vide.
  2. D'après déf.3 et déf.2, si , alors  et donc .

Montrons maintenant qu'une partie  d'un groupe  vérifiant la caractérisation est un sous-groupe de  :

  1. D'après carac.1,  est non vide donc contient un élément . D'après carac.2, .  contient donc l'élément neutre de .
  2. Ainsi, d'après carac.2, .
  3. Ainsi, d'après carac.2, si , , et donc .

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