Caractérisation des sous-groupes et démonstration

Définition. Une partie $H$ d'un groupe $(G,\cdot )$ est un sous-groupe de $G$ si :

1. $H$ contient l'élément neutre $e$ de $G$,
2. $\forall (x,y)\in H^2,xy\in H$,
3. $\forall y\in H,y^{-1}\in H$.

En pratique, pour prouver que $H$ est un sous-groupe de $G$, on utilise plutôt la caractérisation suivante :

Caractérisation. Une partie $H$ d'un groupe $(G,\cdot )$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :

1. $H$ est non vide,
2. $\forall (x,y)\in H^2,x{y}^{-1}\in H$.

Démonstration

Commençons par montrer qu'un sous-groupe $H$ de $(G,.)$ vérifie la caractérisation :

1. D'après déf.1, $H$ contient l'élément neutre de $G$ donc est non-vide.
2. D'après déf.3 et déf.2, si $(x,y)\in H^2$, alors $y^{-1}\in H$ et donc $x{y}^{-1}\in H$.

Montrons maintenant qu'une partie $H$ d'un groupe $(G,\cdot )$ vérifiant la caractérisation est un sous-groupe de $G$ :

1. D'après carac.1, $H$ est non vide donc contient un élément $x$. D'après carac.2, $x{x}^{-1}=e\in H$. $H$ contient donc l'élément neutre de $G$.
2. Ainsi, d'après carac.2, $\forall y\in H,e{y}^{-1}=y^{-1}\in H$.
3. Ainsi, d'après carac.2, si $(x,y)\in H^2$, $y^{-1}\in H$, et donc $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$.