Exo Maths X MP #4 - Décomposition d'un polynôme positif

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

1. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x\in \mathbb{R},P(x)\ge 0$. Montrer que $\exists (Q,R)\in \mathbb{R}[X{]}^2$ tels que $P=Q^2+R^2$.

2. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},P(x)\ge 0$. Montrer que $\exists (A,B,Q,R)\in \mathbb{R}[X{]}^2$ tels que $P=Q^2+R^2+X(A^2+B^2)$.

Correction

Bravo à Abdaloidoud Zouliami (MP*, Claude-Fauriel) et à Fabien Pourre (MP, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ positif sur $\mathbb{R}$.

Décomposons $P$ en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}[X]$ :

avec $\lambda ,{\alpha }_i,b_j,c_j\in \mathbb{R}$ et $b_j^2-4c_j<0$.

Remarquons que :

• $P$ étant positif, les ${\beta }_i$ sont pairs car sinon $P$ changerait de signe en ${\alpha }_i$.
• $X^2+b_{j}X+c_j$ est à coefficients réels et n'a pas de racine réelle, donc il admet deux racines complexes conjugués ${\mu }_j$ et $\overline{{\mu }_j}$.
• $\lambda$ est positif car $P$ et $P/\lambda$ le sont.

Ainsi :

En prenant le polynôme complexe $U=\sqrt{\lambda }{\prod }_{i=1}^n(X-{\alpha }_i{)}^{{\beta }_i/2}{\prod }_{j=1}^r(X-{\mu }_j{)}^{d_j}$, on a $P=U\bar{U}$. Or, $\exists R,Q\in \mathbb{R}[X],U=R+iQ$, donc $P=R^2+Q^2$.

Question 2

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme positif sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

Décomposons $P$ en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}[X]$ :

avec $\lambda ,{\alpha }_i,b_j,c_j\in \mathbb{R}$ et $b_j^2-4c_j<0$.

Remarquons que :

• $(X^2+b_{j}X+c_j{)}^{d_j}$ ne change pas de signe sur $\mathbb{R}$ et tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc il est positif sur $\mathbb{R}$.
• Si ${\alpha }_i>0$, alors ${\beta }_i$ est pair car sinon $P$ changerait de signe en ${\alpha }_i>0$. Donc $(X-{\alpha }_i{)}^{{\beta }_i}$ est positif sur $\mathbb{R}$.
• $\lambda$ est positif car $P$ et $P/\lambda$ le sont sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

Ainsi, en notant $\aleph =\{i\in [[1,n]]|{\alpha }_i\le 0\}$ et ${\alpha }_i^{\prime }=-{\alpha }_i$ :

avec $U$ un polynôme réel positif sur $\mathbb{R}$ et ${\alpha }_i^{\prime }\ge 0$.

En développant le produit, on obtient un polynôme à coefficients positifs ${\gamma }_i$ :

On remarque que $V$ et $W$ sont des polynômes réels positifs. Donc il existe $U^{\prime },V^{\prime }$ deux polynômes réels positifs tels que $P=U^{\prime }+X{V}^{\prime }$. Et grâce à la question 1, il existe $A,B,R,Q\in \mathbb{R}[X]$ tels que :

Question 2 (solution bis)

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme positif sur ${\mathbb{R}}^{+}$.

Décomposons $P$ en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ :

avec $\lambda ,{\alpha }_i,b_j,c_j\in \mathbb{R}$ et $b_j^2-4c_j<0$.

Remarquons que chaque terme du produit se met sous la forme $A^2+X{B}^2$ :

• $P$ et $P/\lambda$ sont positifs sur $[\max (0,{\alpha }_1,...,{\alpha }_n),+\infty [$ donc $\lambda \ge 0$ donc $\lambda ={\sqrt{\lambda }}^2+X\cdot 0^2$.
• Si ${\beta }_i$ est pair, ie. ${\beta }_i=2{\gamma }_i$, alors $(X-{\alpha }_i{)}^{{\beta }_i}=((X-{\alpha }_i{)}^{{\gamma }_i}{)}^2+X\cdot 0$.
• Si ${\beta }_i$ est impair, ie. ${\beta }_i=2{\gamma }_i+1$, alors ${\alpha }_i\le 0$ sinon $P$ changerait de signe sur ${\mathbb{R}}^{\ast +}$, et alors $(X-{\alpha }_i{)}^{{\beta }_i}=(\sqrt{-{\alpha }_i}(X-{\alpha }_i{)}^{{\gamma }_i}{)}^2+X\cdot ((X-{\alpha }_i{)}^{{\gamma }_i}{)}^2$.
• $b_j^2-4c_j<0⟹2\sqrt{c_j}\ge |b_j|$. Donc $X^2+b_{j}X+c_j=(X-\sqrt{c_j}{)}^2+X{\sqrt{b_j+2\sqrt{c_j}}}^2$.

Remarquons que :

Nous pouvons alors conclure : chaque terme du produit est de la forme $A^2+X{B}^2$ et le produit de termes de cette forme est encore de cette forme. Donc $P$ est de la forme $A^2+X{B}^2$.