shared contents
to sources that interest you
your own contents
By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.
Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit un entier naturel non nul. Soit dans .
1. Montrer qu'il existe dans tel que .
2. Montrer qu'il existe dans telle que a ses coefficients diagonaux égaux à .
Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Par le théorème spectral, est diagonalisable dans une base orthonormée de valeurs propres réelles respectives . Soit .
De plus, on remarque que donc que est unitaire.
On procède par récurrence sur .
Initialisation. Pour , fonctionne.
Hérédité. Soit tel que pour tout , il existe telle que les coefficients diagonaux de soient .
Soit . est une matrice symétrique réelle de trace nulle. D'après la question , il existe unitaire tel que .
En identifiant à , on peut compléter en une base orthonormée. Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à s'écrit :
Le coefficient de en haut à gauche est nul car il vaut . De plus, où est la matrice de passage de à la base canonique.
Comment est symétrique, et le sont aussi. Par hypothèse de récurrence, il existe telle que les coefficients diagonaux de soient égaux à .
Soit . est une matrice orthogonale et a tous ses coefficients diagonaux nuls. Donc a tous ses coefficients diagonaux nuls. Or :
En posant , a tous ses coefficients diagonaux égaux à .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.