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Exo Maths X MP #32 - Matrices symétriques et coefficients diagonaux égaux


Published
Revised
December 17, 2020
7 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un entier naturel non nul. Soit  dans .

1. Montrer qu'il existe  dans  tel que .

2. Montrer qu'il existe  dans  telle que  a ses coefficients diagonaux égaux à .

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Par le théorème spectral,  est diagonalisable dans une base orthonormée  de valeurs propres réelles respectives . Soit .



De plus, on remarque que  donc que  est unitaire.

Question 2

On procède par récurrence sur .

Initialisation. Pour ,  fonctionne.

Hérédité. Soit  tel que pour tout , il existe  telle que les coefficients diagonaux de  soient .

Soit .  est une matrice symétrique réelle de trace nulle. D'après la question , il existe  unitaire tel que .

En identifiant  à , on peut compléter  en une base  orthonormée. Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à  s'écrit :



Le coefficient de  en haut à gauche est nul car il vaut . De plus,  est la matrice de passage de  à la base canonique.

Comment  est symétrique,  et  le sont aussi. Par hypothèse de récurrence, il existe  telle que les coefficients diagonaux de  soient égaux à .

Soit .  est une matrice orthogonale et  a tous ses coefficients diagonaux nuls. Donc  a tous ses coefficients diagonaux nuls. Or :



En posant ,  a tous ses coefficients diagonaux égaux à .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.