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Exo Maths X MP #32 - Matrices symétriques et coefficients diagonaux égaux


Published
Revised
December 17, 2020
10 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un entier naturel non nul. Soit  dans .

1. Montrer qu'il existe  dans  tel que .

2. Montrer qu'il existe  dans  telle que  a ses coefficients diagonaux égaux à .

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Par le théorème spectral,  est diagonalisable dans une base orthonormée  de valeurs propres réelles respectives . Soit .



De plus, on remarque que  donc que  est unitaire.

Question 2

On procède par récurrence sur .

Initialisation. Pour ,  fonctionne.

Hérédité. Soit  tel que pour tout , il existe  telle que les coefficients diagonaux de  soient .

Soit .  est une matrice symétrique réelle de trace nulle. D'après la question , il existe  unitaire tel que .

En identifiant  à , on peut compléter  en une base  orthonormée. Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à  s'écrit :



Le coefficient de  en haut à gauche est nul car il vaut . De plus,  est la matrice de passage de  à la base canonique.

Comment  est symétrique,  et  le sont aussi. Par hypothèse de récurrence, il existe  telle que les coefficients diagonaux de  soient égaux à .

Soit .  est une matrice orthogonale et  a tous ses coefficients diagonaux nuls. Donc  a tous ses coefficients diagonaux nuls. Or :



En posant ,  a tous ses coefficients diagonaux égaux à .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.