Exo Maths X MP #32 - Matrices symétriques et coefficients diagonaux égaux

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $S$ dans $S_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer qu'il existe $V$ dans ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ tel que $V^{T}SV=\text{Tr}(S)/n$.

2. Montrer qu'il existe $M$ dans $O_n(\mathbb{R})$ telle que $M^{T}SM$ a ses coefficients diagonaux égaux à $\text{Tr}(S)/n$.

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Jean Wallard (MP*, Louis-le-Grand) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

Par le théorème spectral, $S$ est diagonalisable dans une base orthonormée $(X_1,...X_n)$ de valeurs propres réelles respectives $({\lambda }_1,...{\lambda }_n)$. Soit $V=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{\sqrt{n}}$.

De plus, on remarque que $V^{T}V=1$ donc que $V$ est unitaire.

Question 2

On procède par récurrence sur $n\ge 1$.

Initialisation. Pour $n=1$, $M=I_1$ fonctionne.

Hérédité. Soit $n\ge 2$ tel que pour tout $S\in S_{n-1}(\mathbb{R})$, il existe $M\in O_{n-1}(\mathbb{R})$ telle que les coefficients diagonaux de $M^{T}SM$ soient $\frac{\text{Tr}(S)}{n-1}$.

Soit $S\in S_n(\mathbb{R})$. $R=S-\frac{\text{Tr(S)}}{n}I$ est une matrice symétrique réelle de trace nulle. D'après la question $1$, il existe $V_1\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ unitaire tel que $⟨R{V}_1,V_1⟩=V_1^{T}R{V}_1=\text{Tr}(R)/n=0$.

En identifiant ${\mathbb{R}}^n$ à $M_{n,1}(\mathbb{R})$, on peut compléter $V_1$ en une base $\mathcal{B}=(V_1,...,V_n)$ orthonormée. Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à $R$ s'écrit :

Le coefficient de $T$ en haut à gauche est nul car il vaut $⟨R{V}_1,V_1⟩=0$. De plus, $T=P^{T}RP$ où $P\in O_n(\mathbb{R})$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à la base canonique.

Comment $R$ est symétrique, $T$ et $\tilde{T}$ le sont aussi. Par hypothèse de récurrence, il existe $\tilde{Q}\in {\mathcal{O}}_{n-1}(\mathbb{R})$ telle que les coefficients diagonaux de ${\tilde{Q}}^T\tilde{T}\tilde{Q}$ soient égaux à $\frac{\text{Tr}(\tilde{T})}{n-1}=\frac{\text{Tr}(T)}{n-1}=\frac{\text{Tr}(R)}{n-1}=0$.

Soit $Q=\left(\begin{array}{cccc}1& \text{0}& \cdots & \text{0}\\ 0& & & \\ ⋮& & \tilde{Q}& \\ 0& & & \end{array}\right)$. $Q$ est une matrice orthogonale et $Q^{T}TQ=\left(\begin{array}{cccc}0& \ast & \cdots & \ast \\ \ast & & & \\ ⋮& & {\tilde{Q}}^T\tilde{T}\tilde{Q}& \\ \ast & & & \end{array}\right)$ a tous ses coefficients diagonaux nuls. Donc $(PQ{)}^{T}R(PQ)$ a tous ses coefficients diagonaux nuls. Or :

En posant $M=PQ$, $M^{T}SM$ a tous ses coefficients diagonaux égaux à $\frac{\text{Tr}(S)}{n}$.