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Exo Maths X MP #37 - Prolongement d'une solution d'une équation différentielle


Published
Revised
December 25, 2020
2 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit  une application de classe  définie sur un intervalle  de  contenant  telle que  et . Montrer que  se prolonge en une solution de l'équation différentielle sur .

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Antoine Tessier (MP*, Clémenceau) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Version bijection réciproque

Soit  une application de classe  définie sur un intervalle  contenant  telle que  et .

. Comme  est continue,  est strictement positive sur un intervalle  contenant  inclus dans , donc  réalise une bijection de  dans . Pour tout , on a :



Donc pour tout  :



Une étude de  nous dit que  a un nombre fini non nul de zéros qui sont tous entre . Notons  le plus grand d'entre eux. .  est définie, continue et strictement positive sur . On peut donc considérer l'extension de  à  :



 est continue et strictement croissante sur , donc bijective. De plus :

  • , donc ,
  • . Si , alors  et , donc , donc , donc . Ainsi, .  étant croissante, nécessairement .

 réalise donc une bijection de  dans . Sa réciproque , définie sur , vérifie  et . De plus,  coïncide avec  sur .

Le théorème de Cauchy-Lipschitz non linéaire (hors-programme !) nous dit que  coïncide avec  sur . Si tu connais une manière de le démontrer sans utiliser ce théorème, envoie un message à Lucas Willems.

Version point fixe

Étape 1. Reformulation du problème.

Soit  et . On considère le problème de Cauchy suivant :



où .

Soit  de classe .  est solution de  si et seulement si :



Autrement dit, avec ,  est solution de  si et seulement si .

Étape 2.  admet une solution i.e.  admet un point fixe.

 donc  est -lipschitzienne sur .

Pour tout ,  est continue sur , donc elle est bornée et atteint ses bornes. Ainsi, on peut définir l'application suivante :



 est une norme. Montrons que  est contractante pour cette norme i.e. -lipschitzienne avec .

Soit . Soit  :



Or, pour  :



Donc :



Ainsi :



Soit  :



Or, pour  :



Donc :



Ainsi :



On en conclut que pour tout  :



En passant au sup à droite de l'inégalité puis à gauche :



Donc  est contractante. Montrons qu'elle admet un point fixe.

Soit  et . Ainsi :



On en déduit que  converge, donc que  converge uniformément sur , et donc que  converge uniformément sur  vers une fonction .

Or, pout tout  :



On en déduit que  converge simplement vers , donc, .  admet un point fixe.

Étape 3. Coïncidence de  et  sur .

Soit .  et  sont des points fixes de  donc :



D'autre part,  étant -lipschitzienne avec  :



Ainsi, nécessairement  donc  sur .

Étape 4. Conclusion.

Il existe  assez grand tel que , le voisinage où est définie , soit inclus dans , et que pour tout ,  coïncide avec  sur . De plus, les  se raccordent pour donner une solution du problème de Cauchy sur .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.