Exo Maths X MP #37 - Prolongement d'une solution d'une équation différentielle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019.

Soit $x$ une application de classe ${\mathcal{C}}^1$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ contenant $0$ telle que $x^{\prime }(t)=3x(t)+85\cos (x(t))$ et $x(0)=77$. Montrer que $x$ se prolonge en une solution de l'équation différentielle sur $\mathbb{R}$.

Merci au polytechnicien qui a souhaité rester anonyme d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Antoine Tessier (MP*, Clémenceau) et Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Version bijection réciproque

Soit $x$ une application de classe ${\mathcal{C}}^1$ définie sur un intervalle $I$ contenant $0$ telle que $x^{\prime }(0)=77$ et $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ où $f:x\mapsto 3x+85\cos (x)$.

$x^{\prime }(0)=f(77)>0$. Comme $x^{\prime }$ est continue, $x^{\prime }$ est strictement positive sur un intervalle $J$ contenant $0$ inclus dans $I$, donc $x$ réalise une bijection de $J$ dans $x(J)$. Pour tout $u\in x(J)$, on a :

Donc pour tout $u\in x(J)$ :

Une étude de $f$ nous dit que $f$ a un nombre fini non nul de zéros qui sont tous entre $]-\frac{85}{3},\frac{85}{3}[$. Notons $u_1$ le plus grand d'entre eux. $u_1\le \frac{85}{3}\le 77$. $1/f$ est définie, continue et strictement positive sur $]u_1,+\infty [$. On peut donc considérer l'extension de $x^{-1}$ à $]u_1,+\infty [$ :

$\widetilde{x^{-1}}$ est continue et strictement croissante sur $]u_1,+\infty [$, donc bijective. De plus :

• $\frac{1}{f(s)}{\sim }_{+\infty }\frac{1}{s}$, donc $x^{-1}(u)\underset{u\to +\infty }{\to }+\infty$,
• $\frac{1}{f(s)}=\frac{1}{s-u_1}\frac{s-u_1}{f(s)-f(u_1)}$. Si $f^{\prime }(u_1)=0$, alors $\sin (u_1)=\frac{3}{85}$ et $\cos (u_1)=-\frac{3u_1}{85}$, donc $(\frac{3}{85}{)}^2+(u_1{)}^2(\frac{3}{85}{)}^2=1$, donc $u_1=\pm \frac{\sqrt{7216}}{3}$, donc $f^{\prime }(u_1)\ne 0$. Ainsi, $\frac{1}{f(s)}{\sim }_{u_1^{+}}\frac{1/f^{\prime }(u_1)}{s-u_1}$. $x^{-1}$ étant croissante, nécessairement $x^{-1}(u)\underset{u\to u_1}{\to }-\infty$.

$\widetilde{x^{-1}}$ réalise donc une bijection de $]u_1,+\infty [$ dans $\mathbb{R}$. Sa réciproque $\tilde{x}$, définie sur $\mathbb{R}$, vérifie $\tilde{x}(0)=77$ et $\forall t\in \mathbb{R},{\tilde{x}}^{\prime }(t)=f(\tilde{x}(t))$. De plus, $\tilde{x}$ coïncide avec $x$ sur $J$.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz non linéaire (hors-programme !) nous dit que $\tilde{x}$ coïncide avec $x$ sur $I$. Si tu connais une manière de le démontrer sans utiliser ce théorème, envoie un message à Lucas Willems.

Version point fixe

Étape 1. Reformulation du problème.

Soit $n\in \mathbb{N}$ et $I_n=[-n,n]$. On considère le problème de Cauchy suivant :

où $f:x⟼3x+85\cos (x)$.

Soit $\phi :I_n\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. $\phi$ est solution de $({\mathcal{C}}_n)$ si et seulement si :

Autrement dit, avec $R_n:\{\begin{array}{ccc}\mathcal{C}(I_n,\mathbb{R})& ⟶& \mathcal{C}(I_n,\mathbb{R})\\ y& ⟼& t⟼77+{\int }_0^{t}f(y(s))ds\end{array}$, $\phi$ est solution de $({\mathcal{C}}_n)$ si et seulement si $R_n(\phi )=\phi$.

Étape 2. $({\mathcal{C}}_n)$ admet une solution i.e. $R_n$ admet un point fixe.

$|f^{\prime }(x)|=|3-85\sin (x)|\le 88=M$ donc $f$ est $M$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $y\in \mathcal{C}(I_n,\mathbb{R})$, $t\mapsto e^{-Mt}y(t)$ est continue sur $I_n$, donc elle est bornée et atteint ses bornes. Ainsi, on peut définir l'application suivante :

$\Vert .{\Vert }_n$ est une norme. Montrons que $R_n$ est contractante pour cette norme i.e. $k$-lipschitzienne avec $k<1$.

Soit $y,z\in \mathcal{C}(I_n,\mathbb{R})$. Soit $t\in I_n\cap {\mathbb{R}}^{+}$ :

Or, pour $s\in [0,t]$ :

Donc :

Ainsi :

Soit $t\in I_n\cap {\mathbb{R}}^{-}$ :

Or, pour $s\in [t,0]$ :

Donc :

Ainsi :

On en conclut que pour tout $t\in I_n$ :

En passant au sup à droite de l'inégalité puis à gauche :

Donc $R_n$ est contractante. Montrons qu'elle admet un point fixe.

Soit $y_0\in \mathcal{C}(I_n,\mathbb{R})$ et $\forall i\in \mathbb{N},y_{i+1}=R_n(y_i)$. Ainsi :

On en déduit que ${\sum }_{i⩾0}\Vert y_{i+1}-y_i{\Vert }_n$ converge, donc que ${\sum }_{i⩾0}{y}_{i+1}-y_i$ converge uniformément sur $I_n$, et donc que $(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $I_n$ vers une fonction ${\phi }_n$.

Or, pout tout $t\in I_n$ :

On en déduit que $(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $R_n({\phi }_n)$, donc, ${\phi }_n=R_n({\phi }_n)$. $R_n$ admet un point fixe.

Étape 3. Coïncidence de ${\phi }_{n+1}$ et ${\phi }_n$ sur $I_n$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. ${\phi }_{n+1}$ et ${\phi }_n$ sont des points fixes de $R_n$ donc :

D'autre part, $R$ étant $k$-lipschitzienne avec $k<1$ :

Ainsi, nécessairement $\Vert {\phi }_{n+1}-{\phi }_n{\Vert }_n=0$ donc ${\phi }_{n+1}={\phi }_n$ sur $I_n$.

Étape 4. Conclusion.

Il existe $n_0$ assez grand tel que $V$, le voisinage où est définie $x$, soit inclus dans $I_n$, et que pour tout $n\ge n_0$, ${\phi }_n$ coïncide avec $x$ sur $V$. De plus, les ${\phi }_n$ se raccordent pour donner une solution du problème de Cauchy sur $\mathbb{R}$.