Exo Maths X MP #47 - Convergence des puissances d'une matrice

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $A\in M_n(\mathbb{C})$ telle que $(A^k{)}_k$ converge vers une matrice $L$.

1. Que dire des valeurs propres de $A$ ?

2. Montrer que $L$ est diagonalisable.

3. Si $A\in M_n(\mathbb{Z})$ et ${\max }_{\lambda \in \text{Sp}(A)}|\lambda |<1$, que vaut $L$ ? Que dire de $A$ ?

Merci à Ismail Labiad d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Yessine Marrekchi (MP*, IPEST) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X\ne 0$ tel que $AX=\lambda X.$

$\forall k\in \mathbb{N},A^{k}X={\lambda }^{k}X$. Comme $A^k\underset{k\to +\infty }{\to }L$ et que l'application $M\mapsto MX$ est continue, $A^{k}X\underset{k\to +\infty }{\to }LX$, donc $({\lambda }^{k}X{)}_k$ converge et $({\lambda }^k{)}_k$ aussi. Ainsi, $\lambda =1$ ou $\left|\lambda \right|<1$.

Question 2

Comme $A^k\underset{k\to +\infty }{\to }L$, on a d'une part $A^{2k}\to L$ et d'autre part $A^{2k}=(A^k{)}^2\to L^2$. Par unicité de la limite, $L^2=L$. Autrement dit, le polynôme $P=X(X-1)$ scindé à racine simple annule $L$. $L$ est donc diagonalisable.

Question 3

$A$ est trigonalisable, i.e. $A=P\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & (\ast )\\ & \ddots & \\ (0)& & {\lambda }_n\end{array}\right)P^{-1}$ avec $P\in G{L}_n(\mathbb{C})$. Comme $\left|{\lambda }_i\right|<1$, $A^k=P\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^k& & (\ast )\\ & \ddots & \\ (0)& & {\lambda }_n^k\end{array}\right)P^{-1}\underset{k\to +\infty }{\to }\left(\begin{array}{ccc}0& & (\ast )\\ & \ddots & \\ (0)& & 0\end{array}\right)$. Les valeurs propres de $L$ sont donc nulles. $L$ étant diagonalisable d'après $2$, on en déduit que $L=0$.

Soit $i,j\in [[1,n]]$. Comme $A\in M_n(\mathbb{Z})$, $({\left[A^k\right]}_{i,j}{)}_k$ est une suite d'entiers convergeant vers $0$ donc elle est stationnaire à $0$, i.e. $\exists k_{i,j},\forall k\ge k_{i,j},{\left[A^k\right]}_{i,j}=0$.

Pour $p={\max }_{1\le i,j\le n}^{}{k}_{i,j}$, $A^p=0$. Donc $A$ est nilpotente.