[Preuve] Inégalité triangulaire

Published

Revised

July 17, 2020

2 months ago

Énoncé

\forall (a, b) \in R, ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

Soit $(a, b) \in R$ .

Sachant que $\forall x \in R, ∣ x ∣^{2} = x^{2}$ :

∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ⟺ ∣ a + b ∣^{2} \leq (∣ a ∣ + ∣ b ∣)^{2} ⟺ a^{2} + b^{2} + 2 a b \leq a^{2} + b^{2} + 2 ∣ a b ∣ ⟺ 2 a b \leq 2 ∣ a b ∣ ⟺ a b \leq ∣ a b ∣

Cette dernière inégalité étant toujours vraie :

b \geq 0 b < 0 a \geq 0 a b = ∣ a b ∣ a b \leq ∣ a b ∣ a < 0 a b \leq ∣ a b ∣ a b = ∣ a b [

Par implication et disjonction de cas nous avons vu que l'inégalité était toujours vraie.

Donc, $\forall (a, b) \in R, ∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Preuves Mathématiques

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