Welcome on Share!
Discover

shared contents

Subscribe

to sources that interest you

Share

your own contents

By using Miple's services, you agree to our Privacy policy.

Exo Maths X MP #38 - Probabilité d'inversibilité


Published
Revised
December 28, 2020
6 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit .

Quels sont les valeurs propres et espaces propres de  ?

2. Soit  un nombre premier. Soit  variables aléatoires indépendantes et telles que .

Soit .

Calculer .

Merci à François Duhil de Benaze d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) et Othmane Hadi (MP, Al-Khansaa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1



En développant par rapport à la première colonne :



Notons .  a  racines, toutes simples, qui sont les  pour . L'espace étant de dimension , les espaces propres  sont de dimension .

Soit  un vecteur propre de  associé à . . Donc :



Donc :



Question 2



On remarque que  avec .

Posons .

 forme une base de vecteurs propres de .  forme aussi une base de vecteurs propres de  associés à . Donc :



On en déduit que :



Soit . On note .  est un idéal de l'anneau , donc il existe un polynôme  tel que .

, et comme , on a . Donc il existe  tel que . Or,  est -irréductible pour  premier (résultat hors-programme), donc  est constant. Ainsi :



Comme  :



Comme  et que , on en déduit que  ou , c'est-à-dire que  ou , c'est-à-dire que  (puisque ). Ainsi :



Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.