Exo Maths X MP #38 - Probabilité d'inversibilité

Exos Maths X MP

Publié

Révisé

December 28, 2020

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit $M = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0 ⋮ ⋮ 01 1 ⋱ 0 0 ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ \dots 0 ⋮ 010 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ \in M_{n} (C)$ .

Quels sont les valeurs propres et espaces propres de $M$ ?

2. Soit $n$ un nombre premier. Soit $X_{0}, . . ., X_{n - 1}$ variables aléatoires indépendantes et telles que $P (X_{i} = 0) = P (X_{i} = 1) = \frac{1}{2}$ .

Soit $A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ X_{0} X_{n - 1} ⋮ X_{1} X_{1} ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ X_{n - 1} X_{n - 1} ⋮ X_{1} X_{0} ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞$ .

Calculer $P (A \in / G L_{n} (C))$ .

Merci à François Duhil de Benaze d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Saad Souilmi (MP, Moulay Abdellah) et Othmane Hadi (MP, Al-Khansaa) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à eux d'avoir rédigé leur correction !

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Question 1

χ_{M} = det ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ X 0 ⋮ 0 - 1 - 1 ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ 0 - 1 X ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

En développant par rapport à la première colonne :

χ_{M} = X det ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ X - 1 ⋱ (0) ⋱ ⋱ (0) - 1 X ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ + (- 1)^{n} det ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ - 1 X (0) ⋱ ⋱ (0) ⋱ X - 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ = X \times X^{n - 1} + (- 1)^{n} \times (- 1)^{n - 1} = X^{n} - 1

Notons $ξ = e^{\frac{2 i π}{n}}$ . $χ_{M}$ a $n$ racines, toutes simples, qui sont les $ξ^{k}$ pour $k \in [[1, n]]$ . L'espace étant de dimension $n$ , les espaces propres $E_{ξ^{k}}$ sont de dimension $1$ .

Soit $V_{k}$ un vecteur propre de $M$ associé à $ξ^{k}$ . $M V_{k} = ξ^{k} V_{k}$ . Donc :

{x_{1} = ξ^{k} x_{n} x_{j} = ξ^{k} x_{j - 1}, j \in [[2, n]]

Donc :

E_{ξ^{k}} = Vect ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ξ^{k} ⋮ ξ^{(n - 1) k} ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫

Question 2

P (A \neq \in G L_{n} (C)) = P (det (A) = 0)

On remarque que $A = \sum_{j = 0}^{n - 1} X_{j} M^{j} = P (M)$ avec $P (X) = \sum_{j = 0}^{n - 1} X_{j} X^{j}$ .

Posons $\forall k \in [[1, n]], V_{k} = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 ξ^{k} ⋮ ξ^{(n - 1) k} ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞$ .

$(V_{1}, . . ., V_{n})$ forme une base de vecteurs propres de $M$ . $(V_{1}, . . ., V_{n})$ forme aussi une base de vecteurs propres de $A = P (M)$ associés à $P (ξ^{k})$ . Donc :

det (A) = k = 1 \prod n P (ξ^{k})

On en déduit que :

P (A \neq \in G L_{n} (C)) = P (k = 1 ⋃ n (P (ξ^{k}) = 0))

Soit $j \in [[1, n - 1]]$ . On note $I_{j} = {T \in Q [X] ∣ T (ξ^{j}) = 0}$ . $I_{j}$ est un idéal de l'anneau $Q [X]$ , donc il existe un polynôme $Π_{j} \in Q [X]$ tel que $I_{j} = Π_{j} Q [X]$ .

$X^{n} - 1 \in I_{j}$ , et comme $ξ^{j} - 1 \neq = 0$ , on a $1 + X + . . . + X^{n - 1} \in I_{j}$ . Donc il existe $T \in Q [X]$ tel que $1 + X + . . . + X^{n - 1} = Π_{j} T$ . Or, $1 + X + . . . + X^{n - 1}$ est $Q$ -irréductible pour $n$ premier (résultat hors-programme), donc $T$ est constant. Ainsi :

I_{j} = (1 + X + . . . + X^{n - 1}) Q [X]

Comme $P \in Q [X]$ :

P (ξ^{j}) = 0 ⟺ \exists Q \in Q [X], P = (1 + X + . . . + X^{n - 1}) Q

Comme $de g (P) \leq n - 1$ et que $X_{k} \in {0, 1}$ , on en déduit que $Q = 0$ ou $Q = 1$ , c'est-à-dire que $X_{0} = . . . = X_{n - 1} = 0$ ou $X_{0} = . . . = X_{n - 1} = 1$ , c'est-à-dire que $X_{0} = . . . = X_{n - 1}$ (puisque $X_{k} \in {0, 1}$ ). Ainsi :

P (A \neq \in G L_{n} (C)) = P (k = 1 ⋃ n (P (ξ^{k}) = 0)) = P ((X_{1} = . . . = X_{n})) = 2 \times \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}

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