Exo Maths X MP #17 - Convergence en probabilité de f(X)

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit $(X_n{)}_n$ variables aléatoires réelles et $f$ une fonction continue et nulle en $0$. Si $(X_n{)}_n$ converge en probabilité vers $0$, montrer que $(f(X_n){)}_n$ converge en probabilité vers $0$.

2. Soient $(X_n{)}_n,Y$ variables aléatoires réelles. Si $(X_n{)}_n$ converge en probabilité vers $Y$, sous quelle condition $(f(X_n){)}_n$ converge en probabilité vers $f(Y)$ ?

Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à l'élève qui a souhaité rester anonyme d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Soit $(\Omega ,A,P)$ un espace probabilisé. Soit $(X_n{)}_n$ une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers $0$. Soit $\epsilon >0$.

Comme $f$ est continue en $0$ et $f(0)=0$, $\exists \alpha >0,\forall x\in [-\alpha ,\alpha ],\left|f(x)\right|<\epsilon$.

$\left\{\left|f(X_n)\right|\ge \epsilon \right\}\subset \left\{\left|X_n\right|\ge \alpha \right\}$ et donc $P(|f(X_n)|\ge \epsilon )\le P(|X_n|\ge \alpha )$.

$(X_n{)}_n$ converge vers $0$ en probabilité, donc ${\lim }_{n\to \infty }P(|X_n|\ge \alpha )=0$, donc ${\lim }_{n\to \infty }P(|f(X_n)|\ge \epsilon )$, donc $(f(X_n){)}_n$ converge en probabilité vers $0$.

Question 2

Soit $\mathcal{D}$ l'ensemble des points de discontinuité de $f$. La condition est $P(Y\in \mathcal{D})=0$.

Soit $(\Omega ,A,P)$ un espace probabilisé. Soit $(X_n{)}_n$ une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers une V.A.R $Y$. Soit $\epsilon >0$.

Soit $\eta >0$ :

Si on note :

alors :

• $\{|X_n-Y|<\eta ,|f(X_n)-f(Y)|>\epsilon \}\subset \{Y\in A_{\eta }\}$,
• $\{|X_n-Y|\ge \eta ,|f(X_n)-f(Y)|>\epsilon \}\subset \{|X_n-Y|\ge \eta \}$.

Donc :

$(A_{1/m}{)}_{m\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est une suite décroissante d'ensembles et ${\bigcap }_{m\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{A}_{1/m}=\mathcal{D}$. Donc :

Soit ${\epsilon }^{\prime }>0$. Il existe donc un $m^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $\forall m\ge m^{\prime },P(Y\in A_{1/m})\le {\epsilon }^{\prime }/2$. Posons ${\eta }^{\prime }=1/m^{\prime }$. Il existe $n^{\prime }\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n\ge n^{\prime },P(|X_n-Y|\ge {\eta }^{\prime })\le {\epsilon }^{\prime }/2.$ Ainsi $\forall n\ge n^{\prime },P(|f(X_n)-f(Y)|>\epsilon )\le {\epsilon }^{\prime }$. Autrement dit :

$(f(X_n){)}_n$ converge donc bien en probabilité vers $f(Y)$.



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