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Exo Maths X MP #17 - Convergence en probabilité de f(X)


Published
Revised
October 29, 2020
11 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit  variables aléatoires réelles et  une fonction continue et nulle en . Si  converge en probabilité vers , montrer que  converge en probabilité vers .

2. Soient  variables aléatoires réelles. Si  converge en probabilité vers , sous quelle condition  converge en probabilité vers  ?

Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à l'élève qui a souhaité rester anonyme d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  un espace probabilisé. Soit  une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers . Soit .

Comme  est continue en  et , .

 et donc .

 converge vers  en probabilité, donc , donc , donc  converge en probabilité vers .

Question 2

Soit  l'ensemble des points de discontinuité de . La condition est .

Soit  un espace probabilisé. Soit  une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers une V.A.R . Soit .

Soit  :



Si on note :



alors :

  • ,
  • .

Donc :



 est une suite décroissante d'ensembles et . Donc :



Soit . Il existe donc un  tel que . Posons . Il existe  tel que  Ainsi . Autrement dit :



 converge donc bien en probabilité vers .



.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.