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Exo Maths X MP #17 - Convergence en probabilité de f(X)


Published
Revised
October 29, 2020
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

1. Soit  variables aléatoires réelles et  une fonction continue et nulle en . Si  converge en probabilité vers , montrer que  converge en probabilité vers .

2. Soient  variables aléatoires réelles. Si  converge en probabilité vers , sous quelle condition  converge en probabilité vers  ?

Merci à Hiba Kanber d'avoir partagé l'exercice qu'elle a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à l'élève qui a souhaité rester anonyme d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soit  un espace probabilisé. Soit  une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers . Soit .

Comme  est continue en  et , .

 et donc .

 converge vers  en probabilité, donc , donc , donc  converge en probabilité vers .

Question 2

Soit  l'ensemble des points de discontinuité de . La condition est .

Soit  un espace probabilisé. Soit  une suite de V.A.R qui converge en probabilité vers une V.A.R . Soit .

Soit  :



Si on note :



alors :

  • ,
  • .

Donc :



 est une suite décroissante d'ensembles et . Donc :



Soit . Il existe donc un  tel que . Posons . Il existe  tel que  Ainsi . Autrement dit :



 converge donc bien en probabilité vers .



.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.