Exo Maths X MP #3 - Valeurs intermédiaires

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

Montrer que si $f$ est dérivable de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, alors $f^{\prime }$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soit $f:[0;1]\to \mathbb{R}$ dérivable. On cherche à montrer que pour $a<b$, on a :

Soient $a,b\in [0,1]$ tels que $a<b$. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, on peut supposer que $f^{\prime }(a)\le f^{\prime }(b)$. Si $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)$, la propriété est immédiate. Supposons maintenant $f^{\prime }(a)<f^{\prime }(b)$.

On a déjà $f^{\prime }(a),f^{\prime }(b)\in f^{\prime }([a,b])$. Soit $e\in ]f^{\prime }(a),f^{\prime }(b)[$. Montrons qu'il existe $x\in ]a,b[$ tel que $f^{\prime }(x)=e$. Considérons $g(x)=f(x)-ex$ sur $[a,b]$.

$g$ étant continue, $g$ admet un maximum sur $[a,b]$. Soit $x$ réalisant ce maximum. On a $g^{\prime }(x)=0$ et donc $f^{\prime }(x)=e$.

Par construction, $g^{\prime }(a)=e-f^{\prime }(a)>0$. Il existe donc $y\in ]a,b[$ tel que $g(y)>g(a)$. Donc $x>a$. De même, par construction, $g^{\prime }(b)=e-f^{\prime }(b)<0$. Il existe donc $y\in ]a,b[$ tel que $g(y)>g(b)$. Donc $x<b$. Donc $x\in ]a,b[$.

Donc $f^{\prime }$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.