Exo Maths X MP #57 - Densité d'un itéré

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017.

Existe-t-il un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, $f\in L(E)$ et $x_0\in E$ tels que $\{f^{\circ n}(x_0)|n\in \mathbb{N}\}$ soit dense dans $E$ ?

Merci à Romain Panis d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Fahd Amine El Hajji (MP, Omar Ibn Ikhatabe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Supposons qu'il existe $E$ un espace vectoriel normé de dimendion finie $n$, $f\in L(E)$ et $x\in E$ tels que $I_{x,f}=\{f^k(x)\mid k\ge 0\}$ soit dense dans $E$.

$B=\{P(f)(x)\mid P\in \mathbb{C}[X]\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Comme $E$ est de dimension finie, $B$ est un fermé. Et comme $I_{x,f}$ est dense dans $E$ et inclus dans $B$, $B=E$, i.e. $E=\{P(f)(x)\mid P\in \mathbb{C}[X]\}$.

Soit $\mathcal{B}=(P_1(f)(x),...,P_n(f)(x))$ une base de $E$ avec $P_1,...,P_n\in \mathbb{C}[X]$.

Soit $\alpha \in \mathbb{C}$. Par densité de $I_{x,f}$ dans $E$, il existe $(n_k{)}_k\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ tel que $f^{n_k}(x)\underset{k\to +\infty }{\to }\alpha x$. Pour tout $i\in [[1,n]]$ :

Et donc :

Ainsi, $\forall \alpha \in \mathbb{C},\exists (n_k{)}_k\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}},\det (f{)}^{n_k}\underset{k\to +\infty }{\to }{\alpha }^n$, ce qui est absurde puisque qu'en prenant $\alpha =0$, on aurait $|\det (f)|<1$, et en prenant $\alpha =2$, on aurait $|\det (f)|>1$.