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Exo Maths X MP #1 - Équation fonctionnelle


Published
Revised
September 18, 2020
1 day ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019. Abordable en sup.

Trouver l'ensemble des fonctions  vérifiant :



Correction

Bravo à Lucas Willems (MP*, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Procédons par analyse-synthèse pour déterminer l'ensemble des fonctions  vérifiant les conditions de l'énoncé.

Analyse

Soit  telle que  et . Nous remarquons que  est solution et supposons , ce qui facilitera le raisonnement qui suit.

a. Par récurrence immédiate, nous obtenons la formule suivante :



b. En prenant , nous en déduisons que  est paire car et la fonction cube est injective. Donc :



En prenant , nous remarquons aussi que  est positive.

c. En prenant , et comme  est paire, . Or donc . Ainsi :



d. Supposons  et exprimons  en fonction de  :



En prenant  et en remarquant que  :



Comme  est positive :



e.  est continue sur  tout comme  puisque . Or,  et  coïncident sur  qui est dense dans , donc  sur . Par parité de , on en déduit que :



De plus,  est positive, continue et tend vers  en , donc .

Synthèse

 est vérifie bien les hypothèses de l'énoncé tout comme les fonctions  avec  :

1.  est bien continue sur  car ,

2. La limite de  en  est bien  car .

3. .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.