Exo Maths X MP #1 - Équation fonctionnelle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2019. Abordable en sup.

Trouver l'ensemble des fonctions $f\in {\mathcal{C}}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ vérifiant :

Correction

Bravo à Lucas Willems (MP*, Pierre-de-Fermat) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Procédons par analyse-synthèse pour déterminer l'ensemble des fonctions $f$ vérifiant les conditions de l'énoncé.

Analyse

Soit $f\in {\mathcal{C}}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que $f(x)f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$ et ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$. Nous remarquons que $f=0$ est solution et supposons $f\ne 0$, ce qui facilitera le raisonnement qui suit.

a. Par récurrence immédiate, nous obtenons la formule suivante :

b. En prenant $n=3$, nous en déduisons que $f$ est paire car$f(-x{)}^3=f(\sqrt{3}|x|)=f(x{)}^3$ et la fonction cube est injective. Donc :

En prenant $n=2$, nous remarquons aussi que $f$ est positive.

c. En prenant $y=0$, et comme $f$ est paire, $\forall x\in \mathbb{R},f(x)f(0)=f(x)$. Or $f\ne 0$donc $f(0)=1$. Ainsi :

d. Supposons $x=\frac{p}{q}\in {\mathbb{Q}}^{+}$ et exprimons $f(x)$ en fonction de $f(1)$ :

En prenant $n=q^2$ et en remarquant que $p=\sqrt{p^2}$ :

Comme $f$ est positive :

e. $f$ est continue sur ${\mathbb{R}}^{+}$ tout comme $g(x)=f(1{)}^{x^2}$ puisque $f(1)\ge 0$. Or, $f$ et $g$ coïncident sur ${\mathbb{Q}}^{+}$ qui est dense dans ${\mathbb{R}}^{+}$, donc $f=g$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$. Par parité de $f$, on en déduit que :

De plus, $f$ est positive, continue et tend vers $0$ en $\pm \infty$, donc $f(1)\in ]0,1[$.

Synthèse

$f=0$ est vérifie bien les hypothèses de l'énoncé tout comme les fonctions $f(x)=y^{x^2}$ avec $y\in ]0,1[$ :

1. $f$ est bien continue sur $\mathbb{R}$ car $f(x)=\exp (x^2\ln (y))$,

2. La limite de $f$ en $\pm \infty$ est bien $0$ car $\ln (y)<0$.

3. $f(x)f(y)=y^{x^2+y^2}=f(\sqrt{x^2+y^2})$.