Exo Maths X MP #2 - Produit de cosinus

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2018. Abordable en sup.

1. Exprimer $\frac{\sin (4n\theta )}{\sin (\theta )\cos (\theta )}$ sous la forme d'un polynôme en ${\cos }^2(\theta )$.

2. Montrer que ${\prod }_{k=1}^{2n-1}{\cos }^2\left(\frac{k\pi }{4n}\right)=\frac{n}{2^{4n-3}}$.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

On peut écrire:

Posons alors :

D'après ce qui précède, on a :

Question 2

Si $\theta =\frac{k\pi }{4n}$, alors $\sin (4n\theta )=0$ et :

Donc ${\cos }^2(\frac{\pi }{4n}),{\cos }^2(\frac{2\pi }{4n}),...,{\cos }^2(\frac{(2n-1)\pi }{4n})$ sont $2n-1$ racines distinctes de $P$. Or, $P$ est de degré au plus $2n-1$ et $P$ n'est pas nul :

Donc $P$ est de degré $2n-1$. Si $P=a_0+a_{1}X+...+a_{2n-1}{X}^{2n-1}$, on a donc d'après les relations coefficients racine :

Or :

D'où :