Exo Maths X MP #45 - Décrire cet ensemble

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Révisé

January 12, 2021

Il y a 4 années

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Décrire l'ensemble $E$ des $\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{- 1}{2})^{n} a_{n}$ avec $(a_{n})_{n} \in {0, 1}^{N}$ .

Merci à Romain Farthoat d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Thomas Sepulchre (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Soit $x \in E$ . Il existe $(a_{n})_{n} \in {0, 1}^{N}$ telle que $x = \sum_{n} (\frac{- 1}{2})^{n} a_{n}$ . En remarquant que :

x + n \equiv 1 [2] \sum (\frac{1}{2})^{n} = n \equiv 0 [2] \sum (\frac{1}{2})^{n} \in {0, 1} a_{n} + n \equiv 1 [2] \sum (\frac{1}{2})^{n} (\in {0, 1} 1 - a_{n})

et que $\sum_{n \equiv 1 [2]} (\frac{1}{2})^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k + 1} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - 1 / 4} = \frac{2}{3}$ , on en déduit que :

E + \frac{2}{3} = {n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} a_{n} ∣ (a_{n})_{n} \in {0, 1}^{N}}

Notons $E^{'} = E + \frac{2}{3}$ . $E^{'}$ est minoré par $0$ et majoré par $\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} = 2$ donc $E^{'} \subset [0, 2]$ . Montrons maintenant que $[0, 2] \subset E^{'}$ .

Soit $x \in [0, 2]$ . Par récurrence, construisons $(a_{n})_{n} \in {0, 1}^{N}$ telle que $\forall n \in N, 0 \leq x - S_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n}$ où $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (\frac{1}{2})^{k}$ .

Initialisation. Si $x < 1$ , posons $a_{0} = 0$ . Sinon, posons $a_{0} = 1$ . On a bien $0 \leq x - a_{0} \leq 1$ .

Hérédité. Supposons $a_{0}, . . ., a_{n - 1}$ construits et $0 \leq x - S_{n - 1} \leq (\frac{1}{2})^{n - 1}$ .

Si $x - S_{n - 1} < (\frac{1}{2})^{n}$ , posons $a_{n} = 0$ . Ainsi, $S_{n} = S_{n - 1}$ . Puisque $0 \leq x - S_{n - 1} \leq (\frac{1}{2})^{n}$ , on a donc : $0 \leq x - S_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n}$ .
Si $x - S_{n - 1} \geq (\frac{1}{2})^{n}$ , posons $a_{n} = 1$ . Ainsi, $S_{n} = S_{n - 1} + (\frac{1}{2})^{n}$ . Puisque $(\frac{1}{2})^{n} \leq x - S_{n - 1} \leq 2 (\frac{1}{2})^{n}$ , on a donc : $0 \leq x - S_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n}$ .

Puisque $(\frac{1}{2})^{n} n \to \infty 0$ , on en conclut qu'il existe $(a_{n})_{n} \in {0, 1}^{N}$ telle que $x = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} a_{n}$ , c'est-à-dire que $x \in E^{'}$ . Ainsi, $E + \frac{2}{3} = [0, 2]$ , c'est-à-dire :

E = [- \frac{2}{3}, \frac{4}{3}]

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