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Exo Maths X MP #69 - Diagonalisabilité


Published
Revised
July 1, 2021
3 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soient  telles que  soit symétrique,  antisymétrique et . Montrer que  est diagonalisable dans .

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Commençons par montrer que (1)  est semblable à une matrice antisymétrique réelle, puis que (2) toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable dans , ce qui donnera le résultat.

La matrice  est symétrique définie positive donc diagonalisable sur , de valeurs propres  strictement positives. D'après le théorème spectral il existe  tel que .

Posons . C'est également une matrice symétrique définie positive, et elle vérifie . Mais alors



donc  est semblable à la matrice , qui est antisymétrique puisque :



Montrons à présent qu'une matrice  antisymétrique réelle quelconque est diagonalisable sur . Remarquons d'abord que  et  sont orthogonaux dans  puisque si  et , alors :



Ainsi,  et  sont en somme direct. Par le théorème du rang, ils sont même supplémentaires : .

Par conséquent, si la restriction de  à  est diagonalisable, alors  est diagonalisable sur  tout entier. Quitte à considérer la restriction à , on peut supposer sans perte de généralité que  et .

Introduisons la matrice  Elle est symétrique, , et définie positive car :



D'après le théorème spectral,  est diagonalisable, et a  valeurs propres strictement positives. Par conséquent, le polynôme  annule . Comme , le polynôme  annule . Or :



est scindé à racine simple dans . On en déduit que  est diagonalisable sur . On observe au passage que ses valeurs propres  sont des imaginaires purs.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.