Exo Maths X MP #69 - Diagonalisabilité

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $A$ soit symétrique, $B$ antisymétrique et $\forall X\in {\mathbb{R}}^n\backslash \{0\},X^{T}AX>0$. Montrer que $AB$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$.

Merci à Thomas Leplumey d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin-Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Commençons par montrer que (1) $AB$ est semblable à une matrice antisymétrique réelle, puis que (2) toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable dans $\mathbb{C}$, ce qui donnera le résultat.

La matrice $A$ est symétrique définie positive donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$, de valeurs propres ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ strictement positives. D'après le théorème spectral il existe $O\in {\mathcal{O}}_n(\mathbb{R})$ tel que $A=O\text{diag}({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)O^T$.

Posons $S=Odiag(\sqrt{{\lambda }_1},...,\sqrt{{\lambda }_n})O^T$. C'est également une matrice symétrique définie positive, et elle vérifie $S^2=A$. Mais alors

donc $AB$ est semblable à la matrice $D=SBS$, qui est antisymétrique puisque :

Montrons à présent qu'une matrice $D$ antisymétrique réelle quelconque est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. Remarquons d'abord que $\text{Ker}(D)$ et $\text{Im}(D)$ sont orthogonaux dans ${\mathbb{R}}^n$ puisque si $X\in \text{Ker}(D)$ et $Y=D{X}^{\prime }\in \text{Im}(D)$, alors :

Ainsi, $\text{Ker}(D)$ et $\text{Im}(D)$ sont en somme direct. Par le théorème du rang, ils sont même supplémentaires : $\text{Ker}(D)\oplus \text{Im}(D)={\mathbb{R}}^n$.

Par conséquent, si la restriction de $D$ à $\text{Im}(D)$ est diagonalisable, alors $D$ est diagonalisable sur ${\mathbb{R}}^n$ tout entier. Quitte à considérer la restriction à $\text{Im}(D)$, on peut supposer sans perte de généralité que $\text{Im}(D)={\mathbb{R}}^n$ et $\text{Ker}(D)=\{0\}$.

Introduisons la matrice $E=D^{T}D=-D^2.$ Elle est symétrique, $E^T=(D^{T}D{)}^T=E$, et définie positive car :

D'après le théorème spectral, $E$ est diagonalisable, et a $r$ valeurs propres ${\mu }_1,...,{\mu }_r$strictement positives. Par conséquent, le polynôme $P={\prod }_{k=1}^r(X-{\mu }_k)$ annule $E$. Comme $E=-D^2$, le polynôme $Q=P(-X^2)$ annule $D$. Or :

est scindé à racine simple dans $\mathbb{C}$. On en déduit que $D$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. On observe au passage que ses valeurs propres $\pm i{\sqrt{\mu }}_k$ sont des imaginaires purs.