[Preuve] Toute suite convergente est bornée

Énoncé

Toute suite réelle convergente est bornée.

Définition utilisée

Définition de la convergence d'une suite : ${\lim }_{}{u}_n=l$

Démonstration

Raisonnement par analyse-synthèse

Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $l$.

Selon la définition de la convergence d'une suite :

Prenons $\epsilon =1$. Donc $\exists N\in \mathbb{N},\forall n\ge N$ :

A partir du rang $N$, $(u_n)$ est minoré par $l-1$ et majoré par $l+1$.

Pour un rang inférieur à $N$:

• $(u_n)$ est minoré par $\min (u_1,\dots ,u_N)$
• $(u_n)$ est majoré par $\max (u_1,\dots ,u_N)$

Donc pour tout rang $n$:

• $(u_n)$ est minoré par $\min (u_1,\dots ,u_N,l-1)$
• $(u_n)$ est majoré par $\max (u_1,\dots ,u_N,l+1)$

Conclusion

Par analyse-synthèse, toute suite convergente est bornée.