Exo Maths X MP #6 - Résolubilité d'un groupe

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

On note $D(G)$ le sous-groupe d'un groupe $G$ engendré par les éléments de la forme $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ pour $a,b\in G$. On dit que $G$ est résoluble s'il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $D^n(G)=\{e\}$ ($n$-ième itéré de $D$).

1. On suppose qu'il existe deux groupes $H$ et $N$ et deux morphismes de groupes, $i$ injectif de $H$ dans $G$ et $s$ surjectif de $G$ dans $N$, tels que $\text{Ker}s=\text{Im}i$. Montrer que $G$ est résoluble si et seulement si $H$ et $N$ sont résolubles.

2. Montrer que $S_5$ n'est pas résoluble (on pourra montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $D^n(S_5)$ contient les $3$-cycles).

Correction

Bravo à Nino Emery (MP*, Faidherbe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Soient $H,G,N$ des groupes et $i,s$ des morphismes satisfaisant l'énoncé.

Si $x=ab{a}^{-1}{b}^{-1}\in D(H)$, alors $i(x)=i(a)i(b)i(a{)}^{-1}i(b{)}^{-1}\in D(G)$. Donc $D(H)\subset D(G)$. De la même manière, $D(G)\subset D(N)$. Par récurrence immédiate, $i(D^n(H))\subset D^n(G)$ et $s(D^n(G))\subset D^n(N)$.

Supposons $H,N$ résolubles. Il existe $n_H,n_N$ tels que $D^{n_H}(H)=\{e_h\}$ et $D^{n_N}(N)=\{e_N\}$. On pose $n=\max (n_H,n_N)$.

$s(D^n(G))\subset D^n(N)=\{e_N\}$ donc $D^n(G)\subset \text{Ker}(s)=\text{Im}(i)$ par hypothèse. Ainsi, $i^{-1}(D^n(G))\subset H$, et donc $i^{-1}(D^{2n}(G))\subset D^n(H)=\{e_H\}$. Par injectivité de $i^{-1}$, $D^{2n}(G)=\{e_G\}$. $G$ est résoluble.

Supposons $G$ résoluble. Il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $D^n(G)=\{e_G\}$.

$i(D^n(H))\subset D^n(G)=\{e_G\}$. Par injectivité de $i$, $D^n(H)=\{e_H\}$. $H$ est résoluble.

Par surjectivité de $s$, $D^n(N)\subset s(D^n(G))=s(\{e_G\})=\{e_N\}$. $N$ est résoluble.

Question 2

Soit $G\subset S_5$ sous-groupe contenant les 3-cycles. Montrons que $D(G)$ contient les 3-cycles.

Soit $\sigma =(abc)$ un 3-cycle de $G$. Il existe $d,e\in [|1,5|]\backslash \{a,b,c\}$ différents. Prenons ${\sigma }_1=(adc)$ et ${\sigma }_2=(bec)$ tous deux dans $G$. Alors :

• Par le calcul, ${\sigma }_1{\sigma }_2=(adcbe)$,
• Par le calcul, ${\sigma }_2{\sigma }_1=(adbec)$ donc ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^{-1}=(cebda)$,
• Par le calcul, ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2^{-1}=\sigma$.

Donc $\sigma \in D(G)$. Les 3-cycles sont donc inclus dans $D(G)$.

Par récurrence immédiate, pour tout $n\in \mathbb{N}$, les 3-cycles de $S_5$ sont inclus dans $D^n(S_5)$. Donc $\forall n\in \mathbb{N},D^n(S_5)\ne \{e\}$, donc $S_5$ n'est pas résoluble.