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Exo Maths X MP #6 - Résolubilité d'un groupe


Published
Revised
September 29, 2020
8 months ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

On note  le sous-groupe d'un groupe  engendré par les éléments de la forme  pour . On dit que  est résoluble s'il existe  tel que  (-ième itéré de ).

1. On suppose qu'il existe deux groupes  et  et deux morphismes de groupes,  injectif de  dans  et  surjectif de  dans , tels que . Montrer que  est résoluble si et seulement si  et  sont résolubles.

2. Montrer que  n'est pas résoluble (on pourra montrer que pour tout ,  contient les -cycles).

Correction

Bravo à Nino Emery (MP*, Faidherbe) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Soient  des groupes et  des morphismes satisfaisant l'énoncé.

Si , alors . Donc . De la même manière, . Par récurrence immédiate,  et .

Supposons  résolubles. Il existe  tels que  et . On pose .

 donc  par hypothèse. Ainsi, , et donc . Par injectivité de , .  est résoluble.

Supposons  résoluble. Il existe  tel que .

. Par injectivité de , .  est résoluble.

Par surjectivité de , .  est résoluble.

Question 2

Soit  sous-groupe contenant les 3-cycles. Montrons que  contient les 3-cycles.

Soit  un 3-cycle de . Il existe  différents. Prenons  et  tous deux dans . Alors :

  • Par le calcul, ,
  • Par le calcul,  donc ,
  • Par le calcul, .

Donc . Les 3-cycles sont donc inclus dans .

Par récurrence immédiate, pour tout , les 3-cycles de  sont inclus dans . Donc , donc  n'est pas résoluble.


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.