Exo Maths X MP #6 - Résolubilité d'un groupe

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2017. Abordable en sup.

On note $D(G)$ le sous-groupe d'un groupe $G$, engendré par les éléments de la forme $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ où $(a,b)\in G^2$. On dit que $G$ est résoluble lorsqu'il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $D^n(G)=\{e\}$ (n-ième itéré de $D$).

On suppose qu'il existe deux groupes $H$ et $N$ et deux morphismes de groupes, $i$ injectif de $N$ dans $G$ et $s$ surjectif de $G$ dans $H$, tels que $\text{Ker}s=\text{Im}i$.

1. Montrer que $G$ est résoluble si et seulement si $H$ et $N$ sont résolubles.

2. En déduire que $S_5$ n'est pas résoluble (on pourra montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $D_n(S_5)$ contient les $3$-cycles).

Correction

Sois le premier à contacter Lucas Willems <lcswillems@gmail.com> et ta solution sera publiée ici, avec ton nom et un lien de ton choix !

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