Exo Maths X MP #28 - Valuation 2-adique de factorielle n

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $e_1<...<e_k$ dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. On pose $n={\sum }_{i=1}^k{2}^{e_i}$. On note $V_2(m)$ la valuation 2-adique de $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, c'est-à-dire le plus grand $k\in \mathbb{N}$ tel que $2^k$ divise $m$.

Montrer que $V_2(n!)=n-k$.

Merci à Bao Nguyen d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Si Mohamed Ait Takniouine (MP*, Henri-Poincaré) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Montrons d'abord que $V_p(n!)={\sum }_{v=1}^{\infty }\lfloor \frac{n}{p^v}\rfloor$ pour $p$ premier et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (formule de Legendre). Parmi les entiers de $1$ à $n$, $\lfloor \frac{n}{p^v}\rfloor$ sont multiples de $p^v$ et $\lfloor \frac{n}{p^v}\rfloor -\lfloor \frac{n}{p^{v+1}}\rfloor$ ont une valuation $p$-adique égale à $v$. Donc :

On obtient donc la formule de Legendre.

Montrons d'abord que pour $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [[2,+\infty [[$, $V_p(n!)=\frac{n-s_p(n)}{p-1}$ où $s_p$$(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $p$. Écrivons $n={\sum }_{i=0}^p{a}_i{p}^i$ :

En prenant $p=2$ et $n={\sum }_{i=1}^k{2}^{e_i}$, on obtient que $V_2(n!)=\frac{n-k}{2-1}=n-k$.