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Exo Maths X MP #11 - Trace nulle


Published
Revised
October 23, 2020
1 month ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  un -espace vectoriel de dimension finie. On considère un sous-groupe fini  de  tel que . On suppose qu'il existe  dans  tel que pour tout ,  est semblable à . Montrer que .

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préléminaire. Si  est un groupe fini et , alors .

Preuve. Soit . L'application est injective ( implique que en inversant à gauche) donc bijective par égalité des cardinaux. Donc . Donc :



Retour à l'exercice. Comme  est semblable à  pour tout  et que deux matrices semblables ont même trace :



. Par le préliminaire,  est un projecteur. Il est donc semblable à une matrice  ayant  1 sur sa diagonale.

Par hypothèse, .  est donc semblable à l'application linéaire nulle donc est nul, donc , donc .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.