Exo Maths X MP #11 - Trace nulle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On considère un sous-groupe fini $G$ de $GL(E)$ tel que ${\sum }_{g\in G}\text{Tr}(g)=0$. On suppose qu'il existe $u$ dans $L(E)$ tel que pour tout $g\in G$, $g\circ u$ est semblable à $u$. Montrer que $\text{Tr}(u)=0$.

Merci à Sacha Cerf d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Enguerrand Moulinier (MP*, Marcelin Berthelot) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Remarque préléminaire. Si $G$ est un groupe fini et $p=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}g$, alors $p^2=p$.

Preuve. Soit $g\in G$. L'application $\begin{array}{ccccl}f& :& G& \to & G\\ & & h& \mapsto & gh\end{array}$est injective ($gh=gz$ implique que$h=z$ en inversant à gauche) donc bijective par égalité des cardinaux. Donc ${\sum }_{h\in G}gh={\sum }_{h\in G}h$. Donc :

Retour à l'exercice. Comme $u$ est semblable à $g\circ u$ pour tout $g\in G$ et que deux matrices semblables ont même trace :

où $p=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}g$. Par le préliminaire, $p$ est un projecteur. Il est donc semblable à une matrice $Diag(1,...,1,0,...,0)$ ayant $\text{Tr}(p)$ 1 sur sa diagonale.

Par hypothèse, $\text{Tr}(p)=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}\text{Tr}(g)=0$. $p$ est donc semblable à l'application linéaire nulle donc est nul, donc $p\circ u=0$, donc $\text{Tr}(u)=0$.