Somme des entiers de 1 à n et démonstration

Démonstration rédigée par Nicolas Masset. Passioné de pédagogie, Nicolas donne des cours particuliers aux élèves en MPSI.

Combien fait $1+2+3+\cdots +20$ ? Vous avez la flemme de faire les additions ? Sachez qu'il existe une formule qui vous permettra de répondre 210 en un rien de temps.

Somme des entiers de 1 à n. Si $n\in \mathbb{N}$, alors :

Démonstration

Cette formule peut se démontrer par récurrence.

On note $P$ la proposition suivante:

Montrons par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $P(n)$ est vraie.

Initialisation $n=1$.

Donc la proposition est vraie au rang initial, c’est-à-dire que $P(1)$ est vraie.

Hérédité $n\to n+1$.

Montrons maintenant que la proposition est héréditaire, c’est-à-dire montrons que si $P(n)$ est vraie pour un certain $n\in \mathbb{N}$ (hypothèse de récurrence), alors $P(n+1)$ est aussi vraie.

Plus concrètement, il nous faut montrer en utilisant l’hypothèse de récurrence que :

Commençons par remarquer que :

En utilisant l’hypothèse de récurrence on a :

D’autre part on a:

Donc on a bien :

Donc, si $P(n)$ est vraie pour un certain rang $n\in \mathbb{N}$, alors $P(n+1)$ est aussi vraie.

$P$ est donc héréditaire.

Conclusion.

La proposition est vraie au rang initial $n=1$ et est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, la proposition est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$ :