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Somme des entiers de 1 à n et démonstration


Published
Revised
September 3, 2020
1 month ago

Démonstration rédigée par Nicolas Masset. Passioné de pédagogie, Nicolas donne des cours particuliers aux élèves en MPSI.

Combien fait  ? Vous avez la flemme de faire les additions ? Sachez qu'il existe une formule qui vous permettra de répondre 210 en un rien de temps.

Somme des entiers de 1 à n. Si , alors :



Démonstration

Cette formule peut se démontrer par récurrence.

On note  la proposition suivante:



Montrons par récurrence que pour tout ,  est vraie.

Initialisation .



Donc la proposition est vraie au rang initial, c’est-à-dire que  est vraie.

Hérédité .

Montrons maintenant que la proposition est héréditaire, c’est-à-dire montrons que si  est vraie pour un certain  (hypothèse de récurrence), alors  est aussi vraie.

Plus concrètement, il nous faut montrer en utilisant l’hypothèse de récurrence que :



Commençons par remarquer que :



En utilisant l’hypothèse de récurrence on a :



D’autre part on a:



Donc on a bien :



Donc, si  est vraie pour un certain rang , alors  est aussi vraie.

 est donc héréditaire.

Conclusion.

La proposition est vraie au rang initial  et est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, la proposition est vraie pour tout  :



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