Somme des entiers de 1 à n et démonstration

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September 3, 2020

Il y a 4 années

Démonstration rédigée par Nicolas Masset. Passioné de pédagogie, Nicolas donne des cours particuliers aux élèves en MPSI.

Combien fait $1 + 2 + 3 + \dots + 20$ ? Vous avez la flemme de faire les additions ? Sachez qu'il existe une formule qui vous permettra de répondre 210 en un rien de temps.

Somme des entiers de 1 à n. Si $n \in N$ , alors :

i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Démonstration

Cette formule peut se démontrer par récurrence.

On note $P$ la proposition suivante:

P (n) : i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Montrons par récurrence que pour tout $n \in N$ , $P (n)$ est vraie.

Initialisation $n = 1$ .

i = 1 \sum 1 i = 1 et \frac{1 \times ( 1 + 1 )}{2} = 1

Donc la proposition est vraie au rang initial, c’est-à-dire que $P (1)$ est vraie.

Hérédité $n \to n + 1$ .

Montrons maintenant que la proposition est héréditaire, c’est-à-dire montrons que si $P (n)$ est vraie pour un certain $n \in N$ (hypothèse de récurrence), alors $P (n + 1)$ est aussi vraie.

Plus concrètement, il nous faut montrer en utilisant l’hypothèse de récurrence que :

i = 1 \sum n + 1 i = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

Commençons par remarquer que :

i = 1 \sum n + 1 i = i = 1 \sum n i + n + 1

En utilisant l’hypothèse de récurrence on a :

i = 1 \sum n + 1 i = \frac{n ( n + 1 )}{2} + n + 1 = \frac{n ^{2} + n + 2 n + 2}{2} = \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{2}

D’autre part on a:

\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} = \frac{n ^{2} + 2 n + n + 2}{2} = \frac{n ^{2} + 3 n + 2}{2}

Donc on a bien :

i = 1 \sum n + 1 i = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

Donc, si $P (n)$ est vraie pour un certain rang $n \in N$ , alors $P (n + 1)$ est aussi vraie.

$P$ est donc héréditaire.

Conclusion.

La proposition est vraie au rang initial $n = 1$ et est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, la proposition est vraie pour tout $n \in N$ :

\forall n \in N, i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

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