Exo Maths X MP #70 - Points rationnels d'un cercle

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $C$ un cercle de centre $(0,0)$. On dit que $(x,y)$ de $C$ est rationnel si $x$ et $y$ le sont. Montrer que l'ensemble des points rationnels de $C$ est soit dense soit vide.

Merci à Khalil Sbai d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Julien Brémont (MP*, Saint-Louis) d'avoir réussi à résoudre cet exercice et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Notons $\Gamma =C\cap {\mathbb{Q}}^2$. Supposons $\Gamma$ non vide et montrons que $\Gamma$ est dense dans $C$.

Fixons $(a,b)\in \Gamma$. Soit $(x,y)$ un point du plan n'appartenant pas à la tangente $T_{(a,b)}$ au cercle $C$ passant par $(a,b)$. Dès lors, la droite $D_{(x,y)}$ reliant $(a,b)$ à $(x,y)$ coupe le cercle $C$ en un point $I(x,y)$ distinct de $(a,b)$. On va exprimer les coordonnées de $I(x,y)$ en fonction des coordonnées $a,b,x,y$.

Puisque la droite $D_{(x,y)}$ a pour coefficient directeur $(x-a,y-b)$, on a:

Ainsi on peut écrire $I(x,y)=$$(a+t(x-a),b+t(y-b))$ pour un certain réel $t$. Puisque $I(x,y)$ appartient au cercle $C$, sa norme est égale à celle de $(a,b)$ :

Puisque $I(x,y)$ est distinct de $(a,b)$, on a $t\ne 0$, d'où :

et le point d'intersection est :

Faisant varier le point $(x,y)$, on définit ainsi une application

qui est continue. Par ailleurs, $I$ est surjective car pour tout $(x,y)\in C\setminus \{(a,b)\}$, $I(x,y)=(x,y)$.

Lorsque $(x,y)$ est un point rationnel, on $a,b,x,y\in \mathbb{Q}$ et ainsi $t(x,y)\in \mathbb{Q}$, si bien que $I(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2$ et donc $I(x,y)\in \Gamma$. Ainsi $I({\mathbb{Q}}^2\setminus T_{(a,b)})\subset \Gamma$.

Or, ${\mathbb{Q}}^2\setminus T_{(a,b)}$ est dense dans ${\mathbb{R}}^2\setminus T_{(a,b)}$, i.e. :

Comme $I$ est continue :

Comme $I({\mathbb{R}}^2\setminus T_{(a,b)})=C\setminus \{(a,b)\}$ et que $\overline{I({\mathbb{Q}}^2\setminus T_{(a,b)})}\subset C$, nécessairement $\overline{I({\mathbb{Q}}^2\setminus T_{(a,b)})}=C$ et donc $\Gamma =C$. Autrement dit, $\Gamma$ est dense dans $C$.