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Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.
Soit et .
1. Calculer .
2. En déduire que si .
Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.
Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !
Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.
Commençons par montrer que . En effet, on a:
Or, . Donc . Et donc . On en déduit que :
Or, est injective (si , alors ) et surjective (de dans ensemble fini) donc bijective. Ainsi :
D'après la question 1, que annule . De plus, il est scindé à racines simples. Donc est diagonalisable, de valeurs propres incluses dans. Ainsi, avec .
D'autre part, on a :
Or, est en bijection avec . De plus, si on note et si , alors . Donc pour :
Si on note , et une transposition de , alors l'application qui à associe est bijective, et donc . Donc . Donc .
On en déduit que et donc que , c'est-à-dire que est seule valeur propre de diagonalisable, ce qui impose .
Exos Maths X MP
Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.