Exo Maths X MP #18 - Somme des matrices de permutation

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit $P_{\sigma }=({\delta }_{i,\sigma (j)}{)}_{(i,j)\in [[1,n]]}$ et $T={\sum }_{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )P_{\sigma }$.

1. Calculer $T^2$.

2. En déduire que $T=0$ si $n\ge 3$.

Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

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Question 1

Commençons par montrer que $P_{\sigma }{P}_{{\sigma }^{\prime }}=P_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$. En effet, on a:

Or, ${\delta }_{j,{\sigma }^{\prime }(k)}\ne 0⟺{\sigma }^{\prime }(k)=j$. Donc $(P_{\sigma }{P}_{{\sigma }^{\prime }}{)}_{i,k}={\delta }_{i,\sigma ({\sigma }^{\prime }(k))}=(P_{\sigma {\sigma }^{\prime }}{)}_{i,k}$. Et donc $P_{\sigma }{P}_{{\sigma }^{\prime }}=P_{\sigma {\sigma }^{\prime }}$. On en déduit que :

Or, $\phi :{\sigma }^{\prime }\mapsto \sigma {\sigma }^{\prime }$ est injective (si $\sigma {\sigma }_1^{\prime }=\sigma {\sigma }_2^{\prime }$, alors ${\sigma }_1^{\prime }={\sigma }_2^{\prime }$) et surjective (de ${\mathcal{S}}_n$ dans ${\mathcal{S}}_n$ ensemble fini) donc bijective. Ainsi :

Question 2

D'après la question 1, que $P=X^2-n!X$ annule $T$. De plus, il est scindé à racines simples. Donc $T$ est diagonalisable, de valeurs propres incluses dans$\{0,n!\}$. Ainsi, $\text{Tr}(T)=k\cdot 0+(n-k)\cdot n!$ avec $k\in \mathbb{N}$.

D'autre part, on a :

Or, $\{\sigma \in {\mathcal{S}}_n\mid \sigma (i)=i\}$ est en bijection avec ${\mathcal{S}}_{n-1}$. De plus, si on note $E_i=[[1,n]]\backslash \{i\}$ et si $\sigma (i)=i$, alors $\epsilon (\sigma )=\epsilon ({\sigma }_{|E_i})$. Donc pour $n\ge 3$ :

Si on note $A_n=\{\sigma \in {\mathcal{S}}_{n-1}\mid \epsilon (\sigma )=1\}$, $B_n=\{\sigma \in {\mathcal{S}}_{n-1}\mid \epsilon (\sigma )=-1\}$ et $\tau$ une transposition de ${\mathcal{S}}_{n-1}$, alors l'application $\phi :A_n\to B_n$ qui à $\sigma$ associe $\sigma \tau$ est bijective, et donc $|A_n|=|B_n|$. Donc ${\sum }_{\sigma \in {\mathcal{S}}_{n-1}}\epsilon (\sigma )=0$. Donc $\text{Tr}(T)=0$.

On en déduit que $(n-k)n!=0$ et donc que $k=n$, c'est-à-dire que $0$ est seule valeur propre de $T$ diagonalisable, ce qui impose $T=0$.