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Exo Maths X MP #18 - Somme des matrices de permutation


Published
Revised
November 2, 2020
3 weeks ago

Exercice d'oral de maths de Polytechnique filière MP tombé en 2020.

Soit  et .

1. Calculer .

2. En déduire que  si .

Merci à Jean Wallard d'avoir partagé l'exercice qu'il a eu à l'oral de l'X ! Pour partager les tiens, contacte Lucas Willems.

Correction

Bravo à Théodore Fougereux (MP*, Louis-le-Grand) d'avoir réussi à résoudre cet exercice de l'X et merci à lui d'avoir rédigé une correction !

Rejoins le groupe Facebook Exos Maths X MP pour te préparer à l'X.

Question 1

Commençons par montrer que . En effet, on a:



Or, . Donc . Et donc . On en déduit que :



Or,  est injective (si , alors ) et surjective (de  dans  ensemble fini) donc bijective. Ainsi :



Question 2

D'après la question 1, que  annule . De plus, il est scindé à racines simples. Donc  est diagonalisable, de valeurs propres incluses dans. Ainsi,  avec .

D'autre part, on a :



Or,  est en bijection avec . De plus, si on note  et si , alors . Donc pour  :



Si on note ,  et  une transposition de , alors l'application  qui à  associe  est bijective, et donc . Donc . Donc .

On en déduit que  et donc que , c'est-à-dire que  est seule valeur propre de  diagonalisable, ce qui impose .


Exos Maths X MP

Prépare-toi aux oraux de maths de Polytechnique filière MP en résolvant les exercices tombés les années précédentes.